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수학:르장드르_변환 [2016/08/17 20:28] – 새로 만듦 admin | 수학:르장드르_변환 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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Line 1: | Line 1: | ||
======개요====== | ======개요====== | ||
+ | 제어 변수 $x$와 그에 의존하는 값 $F$가 존재한다고 해보자. 즉 $F = F(x)$이다. $s=dF/ | ||
+ | * $d^2F/ | ||
+ | * $x$보다 $dF/dx$를 측정하거나 고려하기가 더 쉽다. | ||
+ | 가로축 상의 위치 $x$에서 $F(x)$의 접선을 긋고 (그 기울기는 물론 $s$이다) 이 접선이 $y$축 ($x=0$)과 만나는 점을 $-G$라고 지정하면 | ||
+ | $$\frac{F - (-G)}{x} = s$$ | ||
+ | 이기 때문에 $G = sx - F$가 된다. $G = G(s)$라고 했으므로, | ||
+ | $$G(s) = s x(s) - F[x(s)]$$ | ||
+ | 이다. | ||
+ | |||
+ | 만일 한번 더 르장드르 변환을 하고자 $y = dG/ds$와 $H=H(y)$를 도입하여 적어보면, | ||
+ | $$H(y) = y s(y) - G[s(y)]$$ | ||
+ | 를 얻는다. 다시 말해 $G = sy - H$이니까 원래의 식 $G= sx-F$와 비교해보면 | ||
+ | $$\{F, x\} \leftrightarrow \{H, y\}$$ | ||
+ | 로서 모든 정보를 유지한 채 제자리로 돌아올 수 있다는 뜻이다. | ||
+ | |||
+ | =====예===== | ||
+ | 조화 퍼텐셜 $U = \frac{1}{2}k(x-x_{\min})^2$가 있고, 원래 그 최소점인 $x_{\min}$에 입자가 하나 있었다고 해보자. | ||
+ | 힘 $f$가 걸릴 때의 입자의 위치 $x$를 생각해보면, | ||
+ | $$\frac{dU}{dx} = k(x - x_{\min}) = f$$ | ||
+ | 를 통해 구할 수 있다. 왜냐하면 퍼텐셜에서 비롯되는 힘은 $-dU/ | ||
+ | 위의 식을 | ||
+ | $$x(f) = \frac{f}{k} + x_{\min}$$ | ||
+ | 으로 고쳐 적을 수도 있을 것이다. | ||
+ | |||
+ | $U(x)$의 르장드르 변환은 | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | V(f) &=& fx(f) - U[x(f)]\\ | ||
+ | &=& f \left( \frac{f}{k} + x_{\min} \right) - \frac{1}{2}k \left[ \left(\frac{f}{k} + x_{\min} \right) - x_{\min} \right]^2\\ | ||
+ | &=& \frac{f^2}{k} + fx_{\min} - \frac{1}{2} \frac{f^2}{k}\\ | ||
+ | &=& \frac{1}{2} \frac{f^2}{k} + fx_{\min} | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 이다. 한번 더 변환하면 원래의 식이 얻어지며, | ||
+ | $$x(f) = \frac{dV}{df}.$$ | ||
+ | |||
+ | 만일 르장드르 변환을 통해 $V(f)$를 도입하는 대신 $U$를 $f$에 대해 씀으로써 $U[x(f)]$만을 적는다면 $x_{\min}$이라는 정보는 사라짐에 유의한다. | ||
+ | |||
+ | ======라플라스 변환과의 연결====== | ||
+ | [[물리: | ||
+ | |||
+ | [[물리: | ||
+ | $$Z(\beta) = \int W(U) e^{-\beta U} dU.$$ | ||
+ | 이 때에 $\beta$란 온도 $T$에 대해 $\beta \equiv (k_B T)^{-1}$를 의미한다. | ||
+ | |||
+ | [[수학: | ||
+ | $$W(U) = \frac{1}{2\pi i} \int_C Z(\beta) e^{\beta U} d\beta$$ | ||
+ | 이다. $C$는 [[수학: | ||
+ | |||
+ | [[물리: | ||
+ | $\mathcal{F} \equiv \beta F$를 정의하면 $Z(\beta) = e^{-\mathcal{F}(\beta)}$이다. | ||
+ | 따라서 | ||
+ | $$W(U) = \frac{1}{2\pi i} \int_C e^{-\mathcal{F} + \beta U} d\beta$$ | ||
+ | 이다. | ||
+ | |||
+ | 입자의 수 $N$이 커지면 $F$와 $U$ 등은 [[물리: | ||
+ | 따라서 우변은 $\beta U - \mathcal{F}$의 최대, 즉 $\beta$에 대한 도함수가 0이 되는 지점에 의해 결정될 것이다: | ||
+ | $$ \frac{\partial}{\partial \beta} (\beta U - \mathcal{F}) = 0.$$ | ||
+ | 달리 말하면 $U = \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \beta}$가 성립하게 된다. | ||
+ | |||
+ | 그리고 위의 [[수학: | ||
+ | $$W(U) \approx \exp\left[ \beta U - \mathcal{F}[\beta(U)] \right]$$ | ||
+ | 으로 구해져서, | ||
+ | $$\mathcal{F} = \beta U - \mathcal{S}, | ||
+ | 혹은 더 익숙한 표현으로는 $F = U - TS$의 결과를 준다. | ||
======참고문헌====== | ======참고문헌====== | ||
* R. K. P. Zia, Edward F. Redish, and Susan R. McKay, [[http:// | * R. K. P. Zia, Edward F. Redish, and Susan R. McKay, [[http:// |