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수학:르장드르_변환 [2016/08/17 21:26] – [예] admin | 수학:르장드르_변환 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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만일 르장드르 변환을 통해 $V(f)$를 도입하는 대신 $U$를 $f$에 대해 씀으로써 $U[x(f)]$만을 적는다면 $x_{\min}$이라는 정보는 사라짐에 유의한다. | 만일 르장드르 변환을 통해 $V(f)$를 도입하는 대신 $U$를 $f$에 대해 씀으로써 $U[x(f)]$만을 적는다면 $x_{\min}$이라는 정보는 사라짐에 유의한다. | ||
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+ | ======라플라스 변환과의 연결====== | ||
+ | [[물리: | ||
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+ | [[물리: | ||
+ | $$Z(\beta) = \int W(U) e^{-\beta U} dU.$$ | ||
+ | 이 때에 $\beta$란 온도 $T$에 대해 $\beta \equiv (k_B T)^{-1}$를 의미한다. | ||
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+ | [[수학: | ||
+ | $$W(U) = \frac{1}{2\pi i} \int_C Z(\beta) e^{\beta U} d\beta$$ | ||
+ | 이다. $C$는 [[수학: | ||
+ | |||
+ | [[물리: | ||
+ | $\mathcal{F} \equiv \beta F$를 정의하면 $Z(\beta) = e^{-\mathcal{F}(\beta)}$이다. | ||
+ | 따라서 | ||
+ | $$W(U) = \frac{1}{2\pi i} \int_C e^{-\mathcal{F} + \beta U} d\beta$$ | ||
+ | 이다. | ||
+ | |||
+ | 입자의 수 $N$이 커지면 $F$와 $U$ 등은 [[물리: | ||
+ | 따라서 우변은 $\beta U - \mathcal{F}$의 최대, 즉 $\beta$에 대한 도함수가 0이 되는 지점에 의해 결정될 것이다: | ||
+ | $$ \frac{\partial}{\partial \beta} (\beta U - \mathcal{F}) = 0.$$ | ||
+ | 달리 말하면 $U = \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \beta}$가 성립하게 된다. | ||
+ | |||
+ | 그리고 위의 [[수학: | ||
+ | $$W(U) \approx \exp\left[ \beta U - \mathcal{F}[\beta(U)] \right]$$ | ||
+ | 으로 구해져서, | ||
+ | $$\mathcal{F} = \beta U - \mathcal{S}, | ||
+ | 혹은 더 익숙한 표현으로는 $F = U - TS$의 결과를 준다. | ||
======참고문헌====== | ======참고문헌====== | ||
* R. K. P. Zia, Edward F. Redish, and Susan R. McKay, [[http:// | * R. K. P. Zia, Edward F. Redish, and Susan R. McKay, [[http:// |