수학:르장드르_변환

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 [[물리:열역학 퍼텐셜|헬름홀츠 자유 에너지]] $F$에 대해 [[물리:열역학 퍼텐셜|헬름홀츠 자유 에너지]] $F$에 대해
-$\mathcal{F} \equiv F/k_B$를 정의하면 $Z(\beta) = e^{-\mathcal{F}}$이다.+$\mathcal{F} \equiv \beta F$를 정의하면 $Z(\beta) = e^{-\mathcal{F}(\beta)}$이다.
 따라서 따라서
 $$W(U) = \frac{1}{2\pi i} \int_C e^{-\mathcal{F} + \beta U} d\beta$$ $$W(U) = \frac{1}{2\pi i} \int_C e^{-\mathcal{F} + \beta U} d\beta$$
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 입자의 수 $N$이 커지면 $F$와 $U$ 등은 [[물리:크기 변수]]이기 떄문에 $O(N)$으로 함께 커진다. 입자의 수 $N$이 커지면 $F$와 $U$ 등은 [[물리:크기 변수]]이기 떄문에 $O(N)$으로 함께 커진다.
 따라서 우변은 $\beta U - \mathcal{F}$의 최대, 즉 $\beta$에 대한 도함수가 0이 되는 지점에 의해 결정될 것이다: 따라서 우변은 $\beta U - \mathcal{F}$의 최대, 즉 $\beta$에 대한 도함수가 0이 되는 지점에 의해 결정될 것이다:
-$$ \frac{\partial}{\partial U} (\beta U - \mathcal{F}) = 0.$$+$$ \frac{\partial}{\partial \beta} (\beta U - \mathcal{F}) = 0.$$
 달리 말하면 $U = \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \beta}$가 성립하게 된다. 달리 말하면 $U = \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \beta}$가 성립하게 된다.
  
 그리고 위의 [[수학:브롬위치 적분]]은 그리고 위의 [[수학:브롬위치 적분]]은
-$$W(U) \approx \exp\left[ \beta U - \mathcal{F}(\beta) \right]$$+$$W(U) \approx \exp\left[ \beta U - \mathcal{F}[\beta(U)] \right]$$
 으로 구해져서, $\mathcal{S} = \ln W$를 사용하면 으로 구해져서, $\mathcal{S} = \ln W$를 사용하면
 $$\mathcal{F} = \beta U - \mathcal{S},$$ $$\mathcal{F} = \beta U - \mathcal{S},$$
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