수학:범함수

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범함수의 개념

범함수에 대해 이야기 하기 전에 함수의 정의를 떠올려 보자. 예를 들어 함수 $f(x)$가 $f(x)=x^{3}$일 때 $x$에 $3$을 대입하면 $27$을 얻게 된다. 이렇게 어떤 숫자를 대입하였을 때 계산의 결과로서 숫자가 나오는 것을 함수라 할 수 있다. 범함수는 함수와는 조금 다르게 어떤 함수를 대입하였을 때 숫자가 나오는 것이라고 생각하면 된다. 간단한 예를 들자면 다음과 같은 $F$는 범함수라 할 수 있다. $$F[f]=\int_{0}^{1}f(x)dx$$ 위의 범함수 $F$에 함수 $f(x)=x^{2}$가 대입되면 $$F[f]=\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}$$ 이 된다.

범함수 미분법

함수의 미분법은 다음과 같이 정의된다. $$\frac{df}{dx}=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon}$$ 함수의 미분법은 위의 식으로 설명하면 $x$가 조금 변할 때 함수 $f(x)$가 얼마나 변하는 것인지를 나타내는 표현이다. 이와 같은 방식으로 범함수의 미분법을 정의하면 다음과 같이 정의할 수 있다. $$\frac{\delta F}{\delta f(x)}=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{F[f(x^{\prime}+\epsilon\delta(x-x^{\prime})]-F[f(x^{\prime})]}{\epsilon}$$ 위의 정의식은 함수 $f(x)$가 변하는 정도에 따라 범함수 $F$가 얼마나 변하는 것인지 정의하는 것이므로 $\epsilon$이 조금 변할 때 함수 $f(x)$가 변하고 그로 인해 범함수 $F$가 변하는 정도를 나타낸 것으로 이해할 수 있다. 함수 $f(x)$의 값이 아주 조금 변하는 것은 $\delta$함수로 표현한다.

범함수 $J[f]=\int g(f^{\prime})dy$에 대한 미분법을 예로 들자. 여기서 $f^{\prime}$은 $f^{\prime}=\frac{df}{dy}$이다. 범함수 미분법의 정의식에 대입하면 $$\frac{\delta J[f]}{\delta f(x)} = \lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{1}{\epsilon}\left[\int dyg\left(\frac{\partial}{\partial y}[f(y)+\epsilon\delta(y-x)]\right)-\int dyg\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right]$$ 로 적을 수 있다. 우변 첫 항을 테일러 전개하여 적어보면 $$g\left(\frac{\partial}{\partial y}[f(y)+\epsilon\delta(y-x)]\right)=g(f^{\prime}+\epsilon\delta^{\prime}(y-x))\approx g(f^{\prime})+\epsilong\delta^{\prime}(y-x)\frac{dg(f^{\prime})}{df^{\prime}}$$ 로 고쳐 쓸 수 있고 결국 범함수 미분식은 부분적분법을 사용하여 계산하면 $$\frac{\delta J[f]}{\delta f(x)}=\int dy\delta^{\prime}(y-x)\frac{dg(f^{\prime})}{df^{\prime}}=\left[\delta(y-x)\frac{dg(f^{\prime})}{df^{\prime}}\right]-\int dy\delta(y-x)\frac{d}{dy}\left(\frac{dg(f^{\prime})}{df^{\prime}}\right)$$ 이 된다. 이 때,$x$가 적분 극한들 사이에 있다고 가정하면 첫 항은 사라지고 결국 $$\frac{\delta J[f]}{\delta f(x)} = -\frac{d}{dx}\left(\frac{dg(f^{\prime})}{df^{\prime}}\right),\quad\left(f^{\prime}=\frac{df}{dx}\right)$$ 을 얻게 된다. $f^{\prime}=\frac{df}{dx}$는 적분 과정에서 $\delta$함수에 의해 변한 결과이다. 이 결과를 범함수 $F[\phi]=\int\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^{2}dy$의 미분을 계산할 때 이용할 수 있다. 이 경우를 $J[f]$와 비교해보면 $$F[\phi]=\int\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^{2}dy=\int g(\phi^{\prime})dy,$$ $$g(\phi^{\prime})=\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^{2},\quad \phi^{\prime}\equiv\frac{d\phi}{dy}$$ 로 정의할 수 있다. 그러므로 $\frac{\delta J[f]}{\delta f(x)}$의 결과를 이용하면 \begin{equation}\notag \begin{split} \frac{\delta F[\phi]}{\delta\phi(x)}&=-\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\partial}{\partial\phi^{\prime}}\left(\frac{d\phi}{dx}\right)^{2}\right] \\ &=-\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\partial}{\partial\phi^{\prime}}(\phi^{\prime})^{2}\right] \\ &=-\frac{\partial}{\partial x}\left[2\phi^{\prime}\right] \\ &=-\frac{\partial}{\partial x}\left[2\frac{\partial\phi}{\partial x}\right] \\ &=-2\frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} \end{split} \end{equation} 을 얻게 된다.

참고 문헌

* T. Lancaster and S. J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gited Amateur. (Oxford Univerty Press, 2014)

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