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수학:범함수 [2020/01/10 11:57] – [$F$의 미분] admin | 수학:범함수 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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\] | \] | ||
그 시간 변화율이 언제나 | 그 시간 변화율이 언제나 | ||
- | \[ \dot{F} = - \int \xi \rho |\vec{u}|^2 d\vec{r} \le 0 \] | + | \[ \frac{dF}{dt} = - \int \xi \rho |\vec{u}|^2 d\vec{r} \le 0 \] |
임을 보일 수 있다. | 임을 보일 수 있다. | ||
Line 116: | Line 116: | ||
====종합==== | ====종합==== | ||
- | 앞의 결과들을 모두 모으면 다음과 같다. | + | 앞의 결과들을 모두 모으면 다음과 같다: |
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
\frac{dF}{dt} &=& \int \left( \Phi + \Psi + \frac{P}{\rho} + \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) \frac{\partial \rho}{\partial t} d\vec{r} + \int \rho \vec{u} \cdot \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} d\vec{r}\\ | \frac{dF}{dt} &=& \int \left( \Phi + \Psi + \frac{P}{\rho} + \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) \frac{\partial \rho}{\partial t} d\vec{r} + \int \rho \vec{u} \cdot \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} d\vec{r}\\ | ||
Line 131: | Line 131: | ||
\nabla \frac{P[\rho(\vec{r})]}{\rho(\vec{r})} &=& \frac{\nabla P}{\rho} - \frac{\nabla \rho}{\rho^2} P | \nabla \frac{P[\rho(\vec{r})]}{\rho(\vec{r})} &=& \frac{\nabla P}{\rho} - \frac{\nabla \rho}{\rho^2} P | ||
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
- | 임을 이용할 것이다. | + | 임을 이용할 것이다. |
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \frac{dF}{dt} &=& \int \left[ \nabla \Phi + \frac{P}{\rho^2} \nabla \rho + \frac{\nabla P}{\rho} - \frac{\nabla \rho}{\rho^2} P + \nabla \left( \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) \right] \cdot (\rho \vec{u}) d\vec{r} | ||
+ | +\int \left[ -(\vec{u}\cdot \nabla) \vec{u} - \frac{\nabla P}{\rho} - \nabla \Phi - \xi \vec{u} \right] \cdot (\rho \vec{u}) d\vec{r}\\ | ||
+ | &=& \int (\rho \vec{u}) \cdot \left[ \nabla \left( \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) - \xi \vec{u} - (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} \right] d\vec{r}. | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 그런데 | ||
\[ \nabla^2 (\vec{A} \cdot \vec{B}) = \vec{A} \cdot \nabla^2 \vec{B} - \vec{B} \cdot \nabla^2 \vec{A} + 2\nabla \cdot [(\vec{B}\cdot \nabla) \vec{A} + \vec{B} \times (\nabla \times \vec{A})]\] | \[ \nabla^2 (\vec{A} \cdot \vec{B}) = \vec{A} \cdot \nabla^2 \vec{B} - \vec{B} \cdot \nabla^2 \vec{A} + 2\nabla \cdot [(\vec{B}\cdot \nabla) \vec{A} + \vec{B} \times (\nabla \times \vec{A})]\] | ||
을 활용하면 | 을 활용하면 | ||
\[ (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} = \nabla \left( \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) -\vec{u}\times (\nabla \times \vec{u}) \] | \[ (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} = \nabla \left( \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) -\vec{u}\times (\nabla \times \vec{u}) \] | ||
- | 임을 보일 수 있다. 따라서 | + | 임을 보일 수 있다. 그러므로 |
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \frac{dF}{dt} & | ||
+ | \int (\rho \vec{u}) \cdot \left[ \nabla \left( \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) - \xi \vec{u} - \nabla \left( \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) + \vec{u} \times (\nabla \times \vec{u}) \right] d\vec{r} | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 인데 $\vec{u} \times (\nabla \times \vec{u})$는 $\vec{u}$와 수직하므로 $(\rho \vec{u})$와 내적하면 사라진다. 따라서 | ||
+ | \[ \frac{dF}{dt} = \int (\rho \vec{u}) \cdot (-\xi \vec{u}) d\vec{r} = - \int \rho \xi |\vec{u}|^2 d\vec{r} \le 0. \] | ||
+ | ======함께 보기====== | ||
+ | *[[전산물리학: | ||
+ | *[[전자기학: | ||
+ | *[[물리: | ||
======참고 문헌====== | ======참고 문헌====== | ||
* T. Lancaster and S. J. Blundell, //Quantum Field Theory for the Gited Amateur// (Oxford Univerty Press, 2014). | * T. Lancaster and S. J. Blundell, //Quantum Field Theory for the Gited Amateur// (Oxford Univerty Press, 2014). | ||
- | * P. H. Chavanis, Eur. Phys. J. B 62, 179 (2008) [[doi: | + | * P. H. Chavanis, Eur. Phys. J. B 62, 179 (2008) [[http:// |