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--- 수학:베이지언_자백약 [2017/01/10 21:52] – [앞면을 본 사람의 사후확률] admin
+++ 수학:베이지언_자백약 [2018/07/27 15:25] – [앞면을 본 사람이 기대하는 보수] admin
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 ====앞면을 본 사람의 사후확률====
 내가 던진 결과 앞면을 보았고, 다른 말로 나의 진실이 $t_1 \equiv (1,0)$이라고 생각해보자. 그러면 나는 동전에 앞면만 있다는 심증 쪽으로 더 기울 것이다. 즉 [[수학:확률|베이즈의 정리]]에 의해
-$$p[\omega=(1,0)|t_1]=\frac{p[t_1|\omega=(1,0)] \times p[\omega=(1,0)]}{p[t_1|\omega=(1,0)] \times p[\omega=(1,0)] + p[t_1|\omega=(1/2,1/2)] \times p[\omega=(1/2,1/2)]} = \frac{1 \times 1/2}{1 \times 1/2 + 1/2 \times 1/2} = \frac{2}{3}$$
+\begin{eqnarray*}
+p[\omega=(1,0)|t_1]&=&\frac{p[t_1|\omega=(1,0)] \times p[\omega=(1,0)]}{p[t_1|\omega=(1,0)] \times p[\omega=(1,0)] + p[t_1|\omega=(1/2,1/2)] \times p[\omega=(1/2,1/2)]}\\&=& \frac{1 \times 1/2}{1 \times 1/2 + 1/2 \times 1/2} = \frac{2}{3}
+\end{eqnarray*}
 이고 따라서 $p[\omega=(1/2,1/2)|t_1]=1/3$이라는 것이 나의 사후확률이다.
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 그럼 내가 앞면이라고 답할 때의 정보 점수 기대값은
-$$E\left( \log\frac{\bar{x}_1}{\bar{y}_1} \right) = \frac{2}{3} \left( \log 1 - \log\frac{5}{6} \right) + \frac{1}{3} \left( \log \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log \frac{5}{6}  - \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} \right) \right]$$
+$$E \left( \log\frac{\bar{x}_1}{\bar{y}_1} \right) = \frac{2}{3} \left( \log 1 - \log\frac{5}{6} \right) + \frac{1}{3} \left( \log \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log \frac{5}{6}  - \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} \right)$$
 이고 내가 뒷면이라고 답할 때의 정보 점수 기대값은
-$$E\left( \log\frac{\bar{x}_2}{\bar{y}_2} \right) = \frac{2}{3} \left( \log 0 - \log\frac{1}{6} \right) + \frac{1}{3} \left( \log \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log \frac{1}{6}  - \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} \right) \right]$$
+$$E \left( \log\frac{\bar{x}_2}{\bar{y}_2} \right) = \frac{2}{3} \left( \log 0 - \log\frac{1}{6} \right) + \frac{1}{3} \left( \log \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log \frac{1}{6}  - \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} \right)$$
 이다. 앞의 경우에 점수가 높다는 것이 명확하므로 나는 앞면이라고 정직하게 답해야 한다.