개요

This is an old revision of the document!

주관적인 답만이 가능한 문제에 대해 진실한 응답을 하는 것이 내쉬 균형이 되게끔 설계된 게임.

응답해야 할 문제는 $m$ 개의 문항 중 하나를 고르는 것으로, 진실되게 답할 수도 있고 거짓으로 답할 수도 있다. 응답자 $r$이 가지고 있는 진실을 $t^r = (t_1^r, \ldots, t_m^r)$이라고 하자. 이 때 $t_k^r$은 0 또는 1이며 특정 $k$ 하나에 대해서만 1이어야 한다. 이 사람의 답은 $x^r = (x_1^r, \ldots, x_m^r)$로 적는데, 역시 $x_k^r$은 0 또는 1이며 특정한 $k$ 하나에 대해서만 1이어야 한다.

이 `베이지언 자백약'을 쓰기 위해서는 위의 답 $x^r$과 함께, `전체 군집을 보았을 때에 답안의 분포가 어떻게 될지'를 함께 답해야 한다. 이는 $y^r = (y_1^r, \ldots, y_m^r)$로 표현되며, $y_k^r$은 음이 아닌 실수여서 $k$에 대한 전체 합이 1로 정규화되어야 한다.

이 방법이 작동하기 위해서는 개인의 응답이 전체 통계에 영향을 미치지 않을 만큼 응답자의 수 $n$이 충분히 많아야 한다. 또한 가정상 초기에 모든 응답자는 군집내 분포 $\omega = (\omega_1, \ldots, \omega_m)$에 대해 동일한 사전확률(prior) $p(\omega)$를 가진 채 시작하는데, 자신이 가지고 있는 진실에 비추어보고 베이즈의 정리를 따라 각자 나름대로의 사후확률 (posterior) $p(\omega| t^r)$로 고쳐나간다. 이 때 같은 진실을 경험한 사람은 같은 분포를 추론한다고 가정한다. 즉 $t^r=t^s$이면 그리고 오직 그 때에만 $p(\omega|t^r) = p(\omega|t^s)$이다.

이 응답자는 자신이 다음과 같은 보수를 얻게 됨을 안다: $$u^r = \sum_k x_k^r \log \frac{\bar{x}_k}{\bar{y}_k} + \alpha \sum_k \bar{x}_k \log \frac{y_k^r}{\bar{x}_k}$$ 이다. 이 때에 앞의 항을 정보 점수(information score), 뒤의 항을 예측 점수 (prediction score)라고 부른다. $\alpha$는 0보다 큰 실수이며 $$\bar{x}_k \equiv \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n x_k^r$$ $$\log \bar{y}_k \equiv \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log y_k^r$$ 로 정의된다. 다른 사람들이 모두 진실을 보고한다는 가정 하에서 보수의 기대값을 최대화하기 위해 응답자 $r$은 자신도 역시 진실된 $x^r = t^r$을 답하고 자신이 예측하는 바 $y^r$까지도 성실히 답해야 한다는 결론에 도달한다. 이런 의미에서 진실을 말하는 것은 베이지언 내쉬 균형이며, 이 균형이 다른 어떤 균형과 비교해서도 모든 응답자에게 높은 보수를 준다.

$\alpha = 1$인 특별한 경우에 이 게임은 영합(zero-sum)으로서 답안의 실제 분포를 얼마나 잘 예측하느냐에 따라 응답자를 줄세우게 된다.

$m=2$여서 두 문항 중 하나를 고르면 되는 문제를 생각해보자. 예컨대 어떤 동전 하나가 있어서 각자가 남들 몰래 독립적으로 이 동전을 던진 후 그 결과를 속으로 기억하고 있다고 하자. 이 동전에서 앞면이 나올 확률은 명확히 알려지지 않아서, 처음에 사람들이 공통적으로 알고 있는 바는 이 동전이 보통의 것일 확률이 $1/2$, 앞면만 있는 것일 확률이 $1/2$이라는 것이다. 즉, 사전확률은 $p[\omega = (1/2,1/2)] = 1/2$이고 $p[\omega = (1,0)] = 1/2$이다.

내가 던진 결과 앞면을 보았고, 다른 말로 나의 진실이 $t_1 \equiv (1,0)$이라고 생각해보자. 그러면 나는 동전에 앞면만 있다는 심증 쪽으로 더 기울 것이다. 즉 $$p[\omega=(1,0)|t_1]=\frac{p[t_1|\omega=(1,0)] \times p[\omega=(1,0)]}{p[t_1|\omega=(1,0)] \times p[\omega=(1,0)] + p[t_1|\omega=(1/2,1/2)] \times p[\omega=(1/2,1/2)]} = \frac{1/2 \times 1/2}{1 \times 1/2 + 1/2 \times 1/2} = \frac{2}{3}$$ 이고 따라서 $p[\omega=(1/2,1/2)|t_1]=1/3$이라는 것이 나의 사후확률이다.

모든 사람이 이 동전을 던진 후 진실을 응답한다고 가정해보자. 그러면 내가 생각했을 때, 가능성은 두 가지이다. 먼저 $2/3$의 확률로 $\omega=(1,0)$이어서 $(\bar{x}_1, \bar{x}_2) = (\omega_1, \omega_2) = (1,0)$일 것이다. 혹은 $1/3$의 확률로 $\omega=(1/2,1/2)$이어서 $(\bar{x}_1, \bar{x}_2) = (\omega_1, \omega_2) = (1/2,1/2)$일 것이다.

이렇게 내가 앞면을 한번 본 상황($t_1$)에서 얼마나 많은 다른 사람들이 앞면을 볼지($t_1$) 예측되는 빈도를 $p(t_1|t_1)$이라고 하자. 이 값은 $p(t_1|t_1) = 2/3 \times 1 + 1/3 \times 1/2 = 5/6$이다. 마찬가지로 내가 앞면을 한번 본 상황($t_1$)에서 얼마나 많은 다른 사람들이 뒷면을 봤을지($t_2$) 예측되는 빈도는 $p(t_2|t_1) = 2/3 \times 0 + 1/3 \times 1/2 = 1/6$이다.

내가 던진 결과 뒷면을 보았고, 다른 말로 나의 진실이 $t_2 \equiv (0,1)$이라고 생각해보자. 그러면 동전에 뒷면이 있다는 사실을 확신해도 된다. 즉 $p[\omega=(1,0)|t_2]=1$이고 $p[\omega=(1/2,1/2)|t_2]=0$이 나의 사후확률이다.

모든 사람이 이 동전을 던진 후 진실을 응답한다고 가정해보자. 그러면 내가 생각했을 때, 사람들의 응답은 $\omega$를 따라 나와서 $(\bar{x}_1, \bar{x}_2) = (\omega_1, \omega_2) = (1/2,1/2)$일 것이다.

이렇게 내가 뒷면을 한번 본 상황($t_2$)에서는 동전에 앞면과 뒷면이 있다는 것이 확실하므로, 다른 사람이 앞면을 봤을 빈도와 뒷면을 봤을 빈도 모두 $p(t_1|t_2) = p(t_2|t_2) = 1/2$이다.

나는 동전에 문제가 없다고 확신하므로, 사람들 전체를 보았을 때에 $1/2$은 앞면을 보았고 나머지 $1/2$은 뒷면을 보았다고 기대한다. 나아가 앞면을 본 전자의 사람들이 (모두가 진실을 얘기했다는 가정 하에) 앞면의 빈도를 $5/6$으로 추측할 것이라고 기대한다. 그리고 뒷면을 본 후자의 사람들이 나와 마찬가지로 앞면의 빈도를 $1/2$로 추측할 것이라고 기대한다. 따라서 나는 $$\log \bar{y}_1 = \frac{1}{2} \log \frac{5}{6} + \frac{1}{2} \log \frac{1}{2}$$ 이라고 기대한다. 이는 앞면의 응답 비율을 각자 예측한 $y_1^r$을 기하평균하는 것이다. 같은 방식으로 나는 $$\log \bar{y}_2 = \frac{1}{2} \log \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \log \frac{1}{2}$$ 이라고 기대한다.

그럼 내가 앞면이라고 답할 때의 정보 점수 기대값은 $$E\left( \log\frac{\bar{x}_1}{\bar{y}_1} \right) = \log\frac{1}{2} - \left[ \frac{1}{2} \log \frac{5}{6} + \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} \right]$$ 이고 내가 뒷면이라고 답할 때의 정보 점수 기대값은 $$E\left( \log\frac{\bar{x}_2}{\bar{y}_2} \right) = \log\frac{1}{2} - \left[ \frac{1}{2} \log \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} \right]$$ 이다. 나중의 값이 더 크다는 것이 명확하므로 나는 뒷면이라고 진실을 답해야 할 것이다.

이번에는 예측 점수 기대값을 보면, $$ E\left[ \left. \sum_{k=1}^2 \bar{x}_k \log \frac{y_k}{\bar{x}_k} \right| t_2 \right] = \frac{1}{2} \log y_1 + \frac{1}{2} \log y_2 - \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log \frac{1}{2}$$ 이고 $y_1 + y_2 = 1$이다. 따라서 이 값은 $y_1 = y_2 = 1/2$일 때 최대화된다. 이는 나의 예측을 정직하게 보고하는 것에 해당한다.

나는 여전히 동전에 대해 확신하지 못한다. 즉 $2/3$의 확률로는 동전에 앞면만 있어서 모두가 앞면만 볼 테니 모두가 나처럼 앞면의 빈도를 $5/6$이라고 예측해서 $$\log \bar{y}_1 = \log \frac{5}{6}$$ $$\log \bar{y}_2 = \log \frac{1}{6}$$ 일 것이고 $1/3$의 확률로는 동전에 문제가 없어서 $$\log \bar{y}_1 = \frac{1}{2} \log \frac{5}{6} + \frac{1}{2} \log \frac{1}{2}$$ $$\log \bar{y}_2 = \frac{1}{2} \log \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \log \frac{1}{2}$$ 일 것이라고 기대한다.

그럼 내가 앞면이라고 답할 때의 정보 점수 기대값은 $$E\left( \log\frac{\bar{x}_1}{\bar{y}_1} \right) = \frac{2}{3} \left( \log 1 - \log\frac{5}{6} \right) + \frac{1}{3} \left( \log \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log \frac{5}{6} - \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} \right) \right]$$ 이고 내가 뒷면이라고 답할 때의 정보 점수 기대값은 $$E\left( \log\frac{\bar{x}_2}{\bar{y}_2} \right) = \frac{2}{3} \left( \log 0 - \log\frac{1}{6} \right) + \frac{1}{3} \left( \log \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log \frac{1}{6} - \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} \right) \right]$$ 이다. 앞의 경우에 점수가 높다는 것이 명확하므로 나는 앞면이라고 정직하게 답해야 한다.

예측 점수 기대값을 보면, $$ E\left[ \left. \sum_{k=1}^2 \bar{x}_k \log \frac{y_k}{\bar{x}_k} \right| t_1 \right] = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \log y_1 + \frac{1}{2} \log y_2 - \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} \right) + \frac{2}{3} \left( 1 \log y_1 \right) = \frac{1}{6} \log 4y_1^5 y_2$$ 이고 $y_1 + y_2 = 1$이다. 따라서 이 값은 $y_1 = 5/6$이고 $y_2 = 1/6$일 때 최대화된다. 이는 나의 예측을 정직하게 보고하는 것에 해당한다.

확률