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수학:스털링_근사 [2020/10/24 19:23] – created admin | 수학:스털링_근사 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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따라서, $n! \approx n^n e^{-n}$임을 이해할 수 있다. | 따라서, $n! \approx n^n e^{-n}$임을 이해할 수 있다. | ||
- | ======안장점 | + | ======라플라스의 |
+ | [[수학: | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \Gamma (p+1) &=& \int_0^\infty t^p e^{-t} dt\\ | ||
+ | &=& \int_0^\infty e^{p \ln t - t} dt\\ | ||
+ | &=& \int_0^\infty e^{-p\left( \frac{t}{p} - \ln t \right)} dt. | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 이제 $z \equiv t/p$를 도입해서 다시 쓴다. | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \Gamma (p+1) &=& \int_0^\infty e^{-p\left( z - \ln pz \right)} dz\\ | ||
+ | &=& xe^{p\ln p} \int_0^\infty e^{-p(z-\ln z)} dz\\ | ||
+ | &=& p^{p+1} \int_0^\infty e^{-p(z-\ln z)} dz | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 여기에서 $g(z) \equiv z-\ln z$라고 하면 이 함수는 $(0, \infty)$의 구간 중 $z=1$에서 최소값 $g(1)=1$을 가진다. 도함수는 $g' | ||
+ | \[ \int_0^\infty e^{-p(z-\ln z)}dz \sim \sqrt{\frac{2\pi}{p}} e^{-p} \] | ||
+ | 이고 따라서 | ||
+ | \[ \Gamma(p+1) \sim p^{p+1} \sqrt{\frac{2\pi}{p}} e^{-p} = p^p e^{-p} \sqrt{2\pi p}. \] | ||
+ | ======참고문헌====== | ||
+ | * https:// |