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--- 수학:야코비언 [2020/10/24 11:47] – 야코비언 첫장 작성 yong
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 으로 나타낼 수 있다. 예를들어, 미소넓이 $dA$에 대해서 직교좌표계에서 극좌표계로 바꾸는 경우,
-$$dA = dxdy$$
+$$dA = dxdy = |{J}|drd\theta$$
 $$J = J(\frac{x,y}{r,\theta}) = \frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(r,\theta)}}$$
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 따라서 행렬식에 있는 각 성분들을 계산하면,
-$$\frac{\partial{x}}{\partial{r}} = \cos{\theta},
+$$\frac{\partial{x}}{\partial{r}} = \cos{\theta} \qquad
 \frac{\partial{x}}{\partial{\theta}} = -r\sin{\theta}
-\frac{\partial{y}}{\partial{r}} = \sin{\theta}
+$$
+$$
+\frac{\partial{y}}{\partial{r}} = \sin{\theta} \qquad
 \frac{\partial{y}}{\partial{\theta}} = r\cos{\theta}
 $$
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 이며 행렬식의 값을 계산하면
-$$J = \cos{\theta}r\cos{\theta} + r\sin{\theta}\sin{\theta}
+$$J = \cos{\theta}r\cos{\theta} + r\sin{\theta}\sin{\theta} \\
 = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta \\
 = r
 $$
-그러므로 극좌표로 미소면적을 바꾸게 되면
+따라서 직교좌표계에서 극좌표의 야코비언은 '$r$'이 된다. 그러므로 극좌표로 미소면적을 바꾸게 되면
-$$dA = dxdy = |{J}|{d\theta} = rdrd\theta$$
+$$dA = dxdy = |{J}|dr{d\theta} = rdrd\theta$$
+===== 3차원의 야코비언 =====
+$u,v,w$의 세개의 변수가 있다고 하자. 세 변수에 대한 삼중적분은
+$$\iiint{f(u,v,w)}dudvdw$$
+으로 쓸 수 있을 것이다. 이제 $r,s,t$라는 새로운 변수를 도입하도록 하자. 새로운 변수들은 기존의 $u,v,w$와
+$$u=u(r,s,t) \qquad v=v(r,s,t) \qquad w=w(r,s,t)$$
+같은 관계를 가진다. 이에 따른 야코비안 행렬식을 쓰면
+$$J = J(\frac{u,v,w}{r,s,t})
+= \begin{vmatrix}
+\frac{\partial{u}}{\partial{r}} & \frac{\partial{u}}{\partial{s}} & \frac{\partial{u}}{\partial{t}} \\
+\frac{\partial{v}}{\partial{r}} & \frac{\partial{v}}{\partial{s}} & \frac{\partial{v}}{\partial{t}} \\
+\frac{\partial{w}}{\partial{r}} & \frac{\partial{w}}{\partial{s}} & \frac{\partial{w}}{\partial{t}}
+\end{vmatrix}
+$$
+으로 쓸 수 있고 이에 따르는 $r,s,t$에 대한 삼중적분은
+$$\iiint{f(r,s,t)}|J|drdsdt$$
+차원의 미소면적을 구한 것과 같이, 직교좌표계에서 구좌표계로 바꾸는 경우의 미소부피를 구해보도록 하자. 미소부피 $dV$는
+$$dV = dxdydz = |J|{dr}{d\theta}{d\phi}$$
+이며 직교좌표계와 구좌표의 관계는
+$$x=r\sin\theta\cos\phi \qquad y=r\sin\theta\sin\phi \qquad z=r\cos\theta$$
+$$dx = dr\sin\theta\cos\phi + d\theta{r}\cos\theta\cos\phi - d\phi{r}\sin\theta\sin\phi \\
+dy = dr\sin\theta\sin\phi + d\theta{r}\cos\theta\sin\phi + d\phi{r}\sin\theta\cos\phi \\
+dz = dr\cos\theta - d\theta{r}\sin\theta
+$$
+이므로 야코비언 행렬식을 계산하면 구좌표계로의 야코비언은
+$$
+J = \frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,\phi)}} =
+\begin{vmatrix}
+\frac{\partial{x}}{\partial{r}} & \frac{\partial{x}}{\partial{\theta}} & \frac{\partial{x}}{\partial{\phi}} \\
+\frac{\partial{y}}{\partial{r}} & \frac{\partial{y}}{\partial{\theta}} & \frac{\partial{y}}{\partial{\phi}} \\
+\frac{\partial{z}}{\partial{r}} & \frac{\partial{z}}{\partial{\theta}} & \frac{\partial{z}}{\partial{\phi}}
+\end{vmatrix} \\
+= \begin{vmatrix}
+sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\
+\sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi \\
+\cos\theta & -rsin\theta & 0
+\end{vmatrix} \\
+= r^2\sin\theta
+$$
+이며 직교좌표계에서 구좌표계의 야코비언은 $r^2\sin\theta$으로 계산이 된다. 따라서 직교좌표계에서 구좌표계로의 미소부피 dV는
+$$
+dV = |J|{dr}{d\theta}{d\phi} = r^2\sin\theta{dr}{d\theta}{d\phi}
+$$
+===== 참고문헌 =====
+* Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences