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--- 수학:오차_분석 [2018/07/10 14:16] – admin
+++ 수학:오차_분석 [2018/11/09 10:15] – [예제] admin
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 로 정의하면 계수 $a$와 $b$는
 $$a = \overline{Y} - b \overline{X}$$
-$$b = \frac{Cov(X,Y)}{Var(X)} = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X}(Y_i-\overline{Y})}{\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2}$$
+$$b = \frac{Cov(X,Y)}{Var(X)} = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}{\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2}$$
 로 결정된다. 나아가
 $$SS_x \equiv \sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2$$
@@ Line 33: / Line 33: @@
 라고 놓으면 기울기 $b$의 표준오차는
 $$s_b = \sqrt{\frac{SS_y/SS_x - b^2}{n-2}} = \frac{s_{\small Y \cdot X}}{\sqrt{SS_x}},$$
-$a$의 표준오차는
+그리고 $a$의 표준오차는
 $$s_a = s_{\small Y \cdot X} \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{\overline{X}^2}{SS_x}}$$
 이다.
+좀더 정밀하게는 $t$ 분포를 사용해서, $100(1-\alpha)\%$ 신뢰구간을 볼 경우 $t(n-2;\alpha/2)$를 곱하여 보고한다.
+=====예제=====
+| $i$ ^ $X_i$ ^ $Y_i$ ^
+^ 1 | 4 | 9 |
+^ 2 | 8 | 20 |
+^ 3 | 9 | 22 |
+^ 4 | 8 | 15 |
+^ 5 | 8 | 17 |
+^ 6 | 12 | 30 |
+^ 7 | 6 | 18 |
+^ 8 | 10 | 25 |
+^ 9 | 6 | 10 |
+^ 10| 9 | 20 |
+계산해보면 $a = -2.270$, $b = 2.609$이며 $SS_x = \sum (X_i - \overline{X})^2 = 46$, 평균 제곱근 오차는 $s_{\small Y \cdot X} = 2.631$이다. $b$의 표준오차는 $\sigma_b = s_{\small Y \cdot X}/\sqrt{SS_x} = 0.388$, $a$의 표준오차는 $s_a = s_{\small Y \cdot X} \sqrt{\left( \frac{1}{10} + \frac{\overline{X}^2}{SS_x} \right)} = 3.212$이다.
+이 예에서 자유도 $n-2=8$이므로 95% 신뢰구간을 보고하려면 $t(8;0.025)=2.306$을 표준오차에 곱해서 $b = 2.609 \pm 0.895$, $a = -2.270 \pm 7.402$로 적는다.
+=====원점을 지나야만 하는 경우=====
+종종 $(0,0)$을 지나는 것이 너무나 자명한 경우 이 사실을 이용할 수 있다. 이 때 기울기는
+$$b = \frac{\sum X_i Y_i}{\sum X_i^2}$$
+으로 추정하고 그 표준오차는 다음과 같다:
+$$s_b = \sqrt{\frac{\sum (Y_i - b X_i)^2}{n-1}} \frac{\sqrt{\sum X_i^2}}{\sum X_i^2}.$$
+======참고문헌======
+  * Boas, //Mathematical Methods in the Physical Sciences// (Wiley, Hoboken, NJ, 2006).
+  * 박성현, 김성수, 강명욱, //회귀분석입문// (한국방송통신대학교출판부, 서울, 2008).
+  * https://www.che.udel.edu/pdf/FittingData.pdf