수학:윅의_정리

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revision Previous revision
Next revision		 Previous revision
Last revisionBoth sides next revision
배규호:wick의_정리 [2017/08/07 13:30] – bekuho수학:윅의_정리 [2022/04/09 14:24] – ↷ Page moved and renamed from 배규호:wick의_정리 to 수학:윅의_정리 yong
Line 11: Line 11:
 변수 $x_{k}, \: k = 1,2,...,N$ 에 대해 두 변수의 점곱으로 에너지를 표현하자. 변수 $x_{k}, \: k = 1,2,...,N$ 에 대해 두 변수의 점곱으로 에너지를 표현하자.
  
-$$\frac{E}{T} = \frac{1}{2} \sum^{N}_{k,l=1} \alpha_{kl} x_{k} x_{l} $$+$$\frac{E}{T} = \frac{1}{2} \sum^{N}_{k,l=1} \alpha_{kl} x_{k} x_{l}  $$
  
 분배함수는  분배함수는 
Line 27: Line 27:
 적분을 수행하기 위해서 아래와 같은 방법의 잔재주를 사용할 것이다.  적분을 수행하기 위해서 아래와 같은 방법의 잔재주를 사용할 것이다. 
  
 +$$\mathcal{O}\mathcal{O}^{T} = I$$
 +
 +$$\mathcal{O}^{T} \alpha \mathcal{O} = \Lambda$$
 +
 +$$\Lambda_{nm} = \lambda_{n} \delta_{mn} $$
 +
 +$$x_{m} = \sum^{N}_{n=1} \mathcal{O}_{mn} y_{n} $$
 +
 +$$ J = det \frac{\partial{x_{m}}}{\partial{y_{n}}} = det\mathcal{O} = 1 $$
 +
 +원래의 분배함수에 위와 같은 규칙을 적용하면 대각화된 행렬과 그 고유벡터에 대한 식으로 분배함수를 고쳐서 아래와 같이 쓸 수 있다.
 +
 +$$ Z = \int^{\infty}_{-\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big] e^{-y^{T}\Lambda y} = \int^{\infty}_{-\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big] e^{-\frac{1}{2}\sum^{N}_{m=1}  y^{2}_{m}\lambda_{m}} $$
 +
 +위 계산의 결과는 다음과 같다.
 +
 +$$\prod^{N}_{k=1} \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_{k}}} = \frac{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}{\sqrt{det\alpha}} $$
 +
 +======상관함수의 유도와 생성 범함수 테크닉======
 +
 +모든 변수가 섞인 상관함수 $<x_{s1}x_{s2}x_{s3}... x_{sn}>$ 을 구하는 방법중 유용한 방법은 생성함수를 이용하는 것이다. 
 +
 +임의의 $h_{k},k=1,2,...,N$ 에 $x_{k}$를 곱한 항을 지수에 더해주는 함수인 생성 범함수를 아래와 같이 써보자.
 +
 +$$Z[h] = \int^{\infty}_{\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big]e^{-\frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l=1} (x_{k}\alpha_{kl} x_{l}) + \sum^{N}_{m}h_{m}x_[m} $$ 
 +
 +위와 같은 분배함수에서 n차 상관함수를 구하는 방법은 쉽다. 일반적인 생성함수에서 n 차 모멘트를 얻는 것 처럼 $h_{sm}$으로 분배함수를 미분한 후 모든 $h$를 0으로 취하면 n차 상관함수를 얻게 된다.
 +
 +$n$차 상관함수는
 +
 +$$\left< x_{s1}x_{s2}x_{s3}... x_{sn} \right> = \frac{1}{Z} \frac{\partial^n{Z[h]}}{\partial{h_{s1}}... \partial{h_{sn}}} \Big|_{h=0}$$
 +
 +이 계산을 수행하려면 $Z[h]$를 먼저 계산해야 한다. 이것을 하기 위해 $\sum h_{m} x_{m}$ 을 조작하여 자연지수 위의 항을 제곱항 + 상수항 으로 바꿀 것이다. (이 과정을 completing the square 라고 표현한다.)
 +
 +$$ -\frac{1}{2} \sum^{N}_{k,l=1} x_{k} \alpha_{kl} x_{l} + \sum^{N}_{m=1} h_{m}x_{m} = -\frac{1}{2} x^{T}\alpha x +\frac{1}{2}(h^{T}x + x^{T}h) $$
 +
 +$h$ 와 $x$ 는 같은 N개의 성분을 가지는 벡터이기 때문에 $(x^{T}h) = \vec{x} \bullet \vec{h} = h^{T}x $ 를 만족한다. 따라서 $h_{m}x_{m}$의 항을 우변과 같이 고쳐쓸 수 있다.
 +
 +이제 목표는 식을 $(x^{T} - h^{T}c^{T})\alpha (x-ch)$ 형태로 쓰는것이다. 식을 전개하고 먼저 구한 $ -\frac{1}{2} x^{T}\alpha x +\frac{1}{2}(h^{T}x + x^{T}h) $ 과 비교하여 c를 결정하자. c를 결정하기 편하도록 후자의 식에 $ -2$를 곱해서 보자.
 +
 +$$ (x^{T} - h^{T}c^{T})\alpha (x-ch) = x^{T} \alpha x - h^{T}c^{T}\alpha x - x^{T}\alpha ch + h^{T} c^{T} \alpha c h $$
 +
 +$$ x^{T}\alpha x -(h^{T}x + x^{T}h) $$
 +
 +아래의 식을 살리려면 위 식의 네번째 항을 빼주고 $c=\alpha^{-1}$라고 두면 된다. $c$를 결정하고 원래의 식을 정리해주면
 +
 +$$-\frac{1}{2} x^{T}\alpha x +\frac{1}{2}(h^{T}x + x^{T}h) = -\frac{1}{2} (x^{T} - h^{T}\alpha^{-1})\alpha (x - \alpha^{-1}h) +\frac{1}{2}h^{T}\alpha^{-1} h $$
 +
 +그리고 $ y = x - \alpha^{-1}h $ 라고 두고 위의 트릭 중 $J = 1$ 을 이용하면 분배함수를 아래와 같이 쓸 수 있다. 
 +
 +$$Z[h] = \int^{\infty}_{\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big]e^{-\frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l=1} (y_{k}\alpha_{kl} y_{l}) + \frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l}h_{k}(\alpha^{-1})_{kl}h_{l}} $$ 
 +
 +$$ Z[h] = \frac{(2\pi)^{N/2}}{\sqrt{det\alpha}} e^{\frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l}h_{k}(\alpha^{-1})_{kl}h_{l}} $$
 +
 +$$ \frac{1}{Z} \frac{\partial^n{Z[h]}}{\partial{h_{s1}}... \partial{h_{sn}}} \Big|_{h=0} = \Big<\prod_{i=1}^{n} x_{si} \Big> $$
 +
 +$k$ 와 $m$ 번째 변수의 상관함수는 단순히 2번만 미분하면 된다. 
 +
 +$$ \left< x_{k}x_{m} \right> = (\alpha^{-1})_{km} $$
 +
 +======윅(Wick)의 정리======
 +
 +윅의 정리는 n차 상관함수를 빠르게 전개할때 매우 유용하다. 본론으로 들어가자면 n차 상관함수는 2차 상관함수들의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 
 +
 +앞의 생성함수 테크닉을 이용해서 $\Big<\prod_{i=1}^{4}x_{i}\Big>$을 전개해보자. 
 +
 +$$ \Big<\prod_{i=1}^{4}x_{i}\Big> = \frac{1}{Z} \frac{\partial^4{Z[h]}}{\partial{h_{1}}... \partial{h_{4}}} \Big|_{h=0}$$
 \begin{equation} \begin{equation}
 +\begin{split}
  
-\mathcal{O}\mathcal{O}^{T} = I+\frac{\partial^4{Z[h]}}{\partial{h_{1}}... \partial{h_{4}}} &= (Const) \frac{\partial^4}{\partial{h_{1}}... \partial{h_{4}}} e^{\frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l}h_{k}(\alpha^{-1})_{kl}h_{l}}, \: f(h) = e^{\frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l}h_{k}(\alpha^{-1})_{kl}h_{l}}\\  
 +&= (const) \frac{1}{2} \frac{\partial^3}{\partial{h_{1}}... \partial{h_{3}}} \Big[\sum^{N}_{l=1}(\alpha^{-1})_{4l}h_{l} f(h) + \sum^{N}_{k=1}(\alpha^{-1})_{k4} h_{k} f(h) \Big] \\ 
 +&= (const) \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial{h_{1}}\partial{h_{2}}} \Big[(\alpha^{-1})_{43}f(h) + (\alpha^{-1})_{34}f(h) + \frac{1}{2}\big(\sum^{N}_{l=1}(\alpha^{-1})_{4l}h_{l}\big)\big(\sum^{N}_{l=1}(\alpha^{-1})_{3l}h_{l}\big)f(h) + \frac{1}{2}\big(\sum^{N}_{k=1}(\alpha^{-1})_{k4} h_{k}\big)\big(\sum^{N}_{k=1}(\alpha^{-1})_{k4} h_{k}\big) f(h) \Big] \\ 
 +&= ... \\
  
 +\end{split}
 \end{equation} \end{equation}
 +
 +마지막에 $h=0$을 넣어주면 결과는 다음과 같다. 
 +
 +$$ (Const) \frac{1}{2} \Big[(\alpha^{-1})_{12}(\alpha^{-1})_{34} + (\alpha^{-1})_{21}(\alpha^{-1})_{43} + ... + (\alpha^{-1})_{41}(\alpha^{-1})_{23}\Big] $$
 +
 +위에서 구한 관계 $ \left<x_{k}x_{m} \right> = (\alpha^{-1})_{km} $ 와 $(\alpha^{-1})_{km} = (\alpha^{-1})_{mk} $를 이용하여 (두번째 조건은 대칭화 시킨
 +$\alpha$에 대해 유효하다.) 식을 정리하면 아래와 같은 결과를 얻는다. 
 +
 +$$\Big<\prod_{i=1}^{4}x_{i}\Big> = \left<x_{1}x_{2}\right>\left<x_{3}x_{4}\right> + \left<x_{1}x_{3}\right>\left<x_{2}x_{4}\right> + \left<x_{1}x_{4}\right>\left<x_{2}x_{3}\right> $$
 +
 +일반화된 식은 아래와 같다. 
 +
 +$$\Big<\prod_{i=1}^{n}x_{i}\Big> = \left<x_{1}x_{2}\right>\left<x_{3}x_{4}\right> ... \left<x_{n-1}x_{n}\right> + ... $$
 +
 +계산할 때 1번째 변수는 언제나 앞에 두고 나머지 변수의 순서를 바꾸면서 계산한다.
 +
 +
 +
 +
 +
 + 
 +
 +
  
  
  
  
  • 수학/윅의_정리.txt
  • Last modified: 2023/09/05 15:46
  • by 127.0.0.1