Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
Next revision | Previous revision | ||
배규호:wick의_정리 [2017/08/07 13:28] – created bekuho | 수학:윅의_정리 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
---|---|---|---|
Line 11: | Line 11: | ||
변수 $x_{k}, \: k = 1,2,...,N$ 에 대해 두 변수의 점곱으로 에너지를 표현하자. | 변수 $x_{k}, \: k = 1,2,...,N$ 에 대해 두 변수의 점곱으로 에너지를 표현하자. | ||
- | $$\frac{E}{T} = \frac{1}{2} \sum^{N}_{k, | + | $$\frac{E}{T} = \frac{1}{2} \sum^{N}_{k, |
분배함수는 | 분배함수는 | ||
Line 26: | Line 26: | ||
적분을 수행하기 위해서 아래와 같은 방법의 잔재주를 사용할 것이다. | 적분을 수행하기 위해서 아래와 같은 방법의 잔재주를 사용할 것이다. | ||
+ | |||
+ | $$\mathcal{O}\mathcal{O}^{T} = I$$ | ||
+ | |||
+ | $$\mathcal{O}^{T} \alpha \mathcal{O} = \Lambda$$ | ||
+ | |||
+ | $$\Lambda_{nm} = \lambda_{n} \delta_{mn} $$ | ||
+ | |||
+ | $$x_{m} = \sum^{N}_{n=1} \mathcal{O}_{mn} y_{n} $$ | ||
+ | |||
+ | $$ J = det \frac{\partial{x_{m}}}{\partial{y_{n}}} = det\mathcal{O} = 1 $$ | ||
+ | |||
+ | 원래의 분배함수에 위와 같은 규칙을 적용하면 대각화된 행렬과 그 고유벡터에 대한 식으로 분배함수를 고쳐서 아래와 같이 쓸 수 있다. | ||
+ | |||
+ | $$ Z = \int^{\infty}_{-\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big] e^{-y^{T}\Lambda y} = \int^{\infty}_{-\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big] e^{-\frac{1}{2}\sum^{N}_{m=1} | ||
+ | |||
+ | 위 계산의 결과는 다음과 같다. | ||
+ | |||
+ | $$\prod^{N}_{k=1} \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_{k}}} = \frac{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}{\sqrt{det\alpha}} $$ | ||
+ | |||
+ | ======상관함수의 유도와 생성 범함수 테크닉====== | ||
+ | |||
+ | 모든 변수가 섞인 상관함수 $< | ||
+ | |||
+ | 임의의 $h_{k}, | ||
+ | |||
+ | $$Z[h] = \int^{\infty}_{\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big]e^{-\frac{1}{2}\sum^{N}_{k, | ||
+ | |||
+ | 위와 같은 분배함수에서 n차 상관함수를 구하는 방법은 쉽다. 일반적인 생성함수에서 n 차 모멘트를 얻는 것 처럼 $h_{sm}$으로 분배함수를 미분한 후 모든 $h$를 0으로 취하면 n차 상관함수를 얻게 된다. | ||
+ | |||
+ | $n$차 상관함수는 | ||
+ | |||
+ | $$\left< x_{s1}x_{s2}x_{s3}... x_{sn} \right> = \frac{1}{Z} \frac{\partial^n{Z[h]}}{\partial{h_{s1}}... \partial{h_{sn}}} \Big|_{h=0}$$ | ||
+ | |||
+ | 이 계산을 수행하려면 $Z[h]$를 먼저 계산해야 한다. 이것을 하기 위해 $\sum h_{m} x_{m}$ 을 조작하여 자연지수 위의 항을 제곱항 + 상수항 으로 바꿀 것이다. (이 과정을 completing the square 라고 표현한다.) | ||
+ | |||
+ | $$ -\frac{1}{2} \sum^{N}_{k, | ||
+ | |||
+ | $h$ 와 $x$ 는 같은 N개의 성분을 가지는 벡터이기 때문에 $(x^{T}h) = \vec{x} \bullet \vec{h} = h^{T}x $ 를 만족한다. 따라서 $h_{m}x_{m}$의 항을 우변과 같이 고쳐쓸 수 있다. | ||
+ | |||
+ | 이제 목표는 식을 $(x^{T} - h^{T}c^{T})\alpha (x-ch)$ 형태로 쓰는것이다. 식을 전개하고 먼저 구한 $ -\frac{1}{2} x^{T}\alpha x +\frac{1}{2}(h^{T}x + x^{T}h) $ 과 비교하여 c를 결정하자. c를 결정하기 편하도록 후자의 식에 $ -2$를 곱해서 보자. | ||
+ | |||
+ | $$ (x^{T} - h^{T}c^{T})\alpha (x-ch) = x^{T} \alpha x - h^{T}c^{T}\alpha x - x^{T}\alpha ch + h^{T} c^{T} \alpha c h $$ | ||
+ | |||
+ | $$ x^{T}\alpha x -(h^{T}x + x^{T}h) $$ | ||
+ | |||
+ | 아래의 식을 살리려면 위 식의 네번째 항을 빼주고 $c=\alpha^{-1}$라고 두면 된다. $c$를 결정하고 원래의 식을 정리해주면 | ||
+ | |||
+ | $$-\frac{1}{2} x^{T}\alpha x +\frac{1}{2}(h^{T}x + x^{T}h) = -\frac{1}{2} (x^{T} - h^{T}\alpha^{-1})\alpha (x - \alpha^{-1}h) +\frac{1}{2}h^{T}\alpha^{-1} h $$ | ||
+ | |||
+ | 그리고 $ y = x - \alpha^{-1}h $ 라고 두고 위의 트릭 중 $J = 1$ 을 이용하면 분배함수를 아래와 같이 쓸 수 있다. | ||
+ | |||
+ | $$Z[h] = \int^{\infty}_{\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big]e^{-\frac{1}{2}\sum^{N}_{k, | ||
+ | |||
+ | $$ Z[h] = \frac{(2\pi)^{N/ | ||
+ | |||
+ | $$ \frac{1}{Z} \frac{\partial^n{Z[h]}}{\partial{h_{s1}}... \partial{h_{sn}}} \Big|_{h=0} = \Big< | ||
+ | |||
+ | $k$ 와 $m$ 번째 변수의 상관함수는 단순히 2번만 미분하면 된다. | ||
+ | |||
+ | $$ \left< x_{k}x_{m} \right> = (\alpha^{-1})_{km} $$ | ||
+ | |||
+ | ======윅(Wick)의 정리====== | ||
+ | |||
+ | 윅의 정리는 n차 상관함수를 빠르게 전개할때 매우 유용하다. 본론으로 들어가자면 n차 상관함수는 2차 상관함수들의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. | ||
+ | |||
+ | 앞의 생성함수 테크닉을 이용해서 $\Big< | ||
+ | |||
+ | $$ \Big< | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | |||
+ | \frac{\partial^4{Z[h]}}{\partial{h_{1}}... \partial{h_{4}}} &= (Const) \frac{\partial^4}{\partial{h_{1}}... \partial{h_{4}}} e^{\frac{1}{2}\sum^{N}_{k, | ||
+ | &= (const) \frac{1}{2} \frac{\partial^3}{\partial{h_{1}}... \partial{h_{3}}} \Big[\sum^{N}_{l=1}(\alpha^{-1})_{4l}h_{l} f(h) + \sum^{N}_{k=1}(\alpha^{-1})_{k4} h_{k} f(h) \Big] \\ | ||
+ | &= (const) \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial{h_{1}}\partial{h_{2}}} \Big[(\alpha^{-1})_{43}f(h) + (\alpha^{-1})_{34}f(h) + \frac{1}{2}\big(\sum^{N}_{l=1}(\alpha^{-1})_{4l}h_{l}\big)\big(\sum^{N}_{l=1}(\alpha^{-1})_{3l}h_{l}\big)f(h) + \frac{1}{2}\big(\sum^{N}_{k=1}(\alpha^{-1})_{k4} h_{k}\big)\big(\sum^{N}_{k=1}(\alpha^{-1})_{k4} h_{k}\big) f(h) \Big] \\ | ||
+ | &= ... \\ | ||
+ | |||
+ | \end{split} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | 마지막에 $h=0$을 넣어주면 결과는 다음과 같다. | ||
+ | |||
+ | $$ (Const) \frac{1}{2} \Big[(\alpha^{-1})_{12}(\alpha^{-1})_{34} + (\alpha^{-1})_{21}(\alpha^{-1})_{43} + ... + (\alpha^{-1})_{41}(\alpha^{-1})_{23}\Big] $$ | ||
+ | |||
+ | 위에서 구한 관계 $ \left< | ||
+ | $\alpha$에 대해 유효하다.) 식을 정리하면 아래와 같은 결과를 얻는다. | ||
+ | |||
+ | $$\Big< | ||
+ | |||
+ | 일반화된 식은 아래와 같다. | ||
+ | |||
+ | $$\Big< | ||
+ | |||
+ | 계산할 때 1번째 변수는 언제나 앞에 두고 나머지 변수의 순서를 바꾸면서 계산한다. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||