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1차원 가우스 함수의 적분
볼츠만 인자 $e^{-E/T}$ 를 생각해보자 이때 $E/T = (\alpha x^{2})/2 $ 라면 분배함수는 아래와 같다.
$$ Z = \int^{\infty}_{-\infty} dx e^{-\frac{\alpha}{2}x^{2}} = \sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}} $$
다차원 가우스 함수의 적분
이제 차원을 확장해서 N차원에 대한 가우스 적분을 구해보자.
변수 $x_{k}, \: k = 1,2,...,N$ 에 대해 두 변수의 점곱으로 에너지를 표현하자.
$$\frac{E}{T} = \frac{1}{2} \sum^{N}_{k,l=1} \alpha_{kl} x_{k} x_{l} $$
분배함수는
$$ Z = \int^{\infty}_{-\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big] e^{-\frac{1}{2}\sum^{N}_{m,n=1} x_{m}\alpha_{mn}x_{n}} $$
여기서 $\alpha_{mn}$ 은 $N \times N$ 행렬의 $(m,n)$ 번 째 성분이다. 만약 행렬이 대칭행렬이 아니더라도 더 일반화 하여
지수 위의 식을 아래와 같이 써 줄 수 있다.
$$ \sum^{N}_{m,n=1} x_{m}\alpha_{mn}x_{n} = \frac{1}{2} \sum^{N}_{m,n=1} x_{m}(\alpha_{mn} + \alpha_{nm})x_{n} $$
괄호 안에 있는 것은 새로운 행렬을 나타낸다. 이 행렬은 기존의 대칭적이지 않은 행렬을 대칭화하여 쓴 것이기 때문에 명시적으로 대칭적이다.
적분을 수행하기 위해서 아래와 같은 방법의 잔재주를 사용할 것이다.
\begin{equation} \mathcal{O}\mathcal{O}^{T} = I \end{equation}