수학:윅의_정리

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배규호:wick의_정리 [2017/08/07 16:28] bekuho수학:윅의_정리 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
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 $$Z[h] = \int^{\infty}_{\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big]e^{-\frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l=1} (x_{k}\alpha_{kl} x_{l}) + \sum^{N}_{m}h_{m}x_[m} $$  $$Z[h] = \int^{\infty}_{\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big]e^{-\frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l=1} (x_{k}\alpha_{kl} x_{l}) + \sum^{N}_{m}h_{m}x_[m} $$ 
  
-위와 같은 분배함수에서 n차 상관함수를 구하는 방법은 쉽다. 일반적인 생성함수에서 n 차 모멘트를 얻는 것 처럼 $h_{sm}$으로 분배함수를 미분한 후 모든 $h$를 0으로 취하면 n차 상관함수를 얻게 된다. (확률분포가 가우스 분포이기 때문에 가능한 짓이다.)+위와 같은 분배함수에서 n차 상관함수를 구하는 방법은 쉽다. 일반적인 생성함수에서 n 차 모멘트를 얻는 것 처럼 $h_{sm}$으로 분배함수를 미분한 후 모든 $h$를 0으로 취하면 n차 상관함수를 얻게 된다.
  
-n차 상관함수는+$n$차 상관함수는
  
-$$<x_{s1}x_{s2}x_{s3}... x_{sn}> = \frac{1}{Z} \frac{\partial^n{Z[h]}}{\partial{h_{s1}}... \partial{h_{sn}}} \Big|_{h=0}$$+$$\left< x_{s1}x_{s2}x_{s3}... x_{sn} \right> = \frac{1}{Z} \frac{\partial^n{Z[h]}}{\partial{h_{s1}}... \partial{h_{sn}}} \Big|_{h=0}$$
  
-이 계산을 수행하려면 $Z[h]$를 먼저 계산해야 한다. 이것을 하기 위해 $\sum h_{m} x_{m}$ 을 조작하여 자연지수 위의 항을 제곱항 + 상수항 으로 바꿀 것이다. (이 과정을 complete the square 라고 표현한다.)+이 계산을 수행하려면 $Z[h]$를 먼저 계산해야 한다. 이것을 하기 위해 $\sum h_{m} x_{m}$ 을 조작하여 자연지수 위의 항을 제곱항 + 상수항 으로 바꿀 것이다. (이 과정을 completing the square 라고 표현한다.)
  
 $$ -\frac{1}{2} \sum^{N}_{k,l=1} x_{k} \alpha_{kl} x_{l} + \sum^{N}_{m=1} h_{m}x_{m} = -\frac{1}{2} x^{T}\alpha x +\frac{1}{2}(h^{T}x + x^{T}h) $$ $$ -\frac{1}{2} \sum^{N}_{k,l=1} x_{k} \alpha_{kl} x_{l} + \sum^{N}_{m=1} h_{m}x_{m} = -\frac{1}{2} x^{T}\alpha x +\frac{1}{2}(h^{T}x + x^{T}h) $$
Line 75: Line 75:
 $$-\frac{1}{2} x^{T}\alpha x +\frac{1}{2}(h^{T}x + x^{T}h) = -\frac{1}{2} (x^{T} - h^{T}\alpha^{-1})\alpha (x - \alpha^{-1}h) +\frac{1}{2}h^{T}\alpha^{-1} h $$ $$-\frac{1}{2} x^{T}\alpha x +\frac{1}{2}(h^{T}x + x^{T}h) = -\frac{1}{2} (x^{T} - h^{T}\alpha^{-1})\alpha (x - \alpha^{-1}h) +\frac{1}{2}h^{T}\alpha^{-1} h $$
  
-그리고 $ y = x - \alpha^{-1}h $ 라고 두고 위의 꼼수중 $J = 1$ 을 이용하면 분배함수를 아래와 같이 쓸 수 있다. +그리고 $ y = x - \alpha^{-1}h $ 라고 두고 위의 트릭 중 $J = 1$ 을 이용하면 분배함수를 아래와 같이 쓸 수 있다. 
  
 $$Z[h] = \int^{\infty}_{\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big]e^{-\frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l=1} (y_{k}\alpha_{kl} y_{l}) + \frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l}h_{k}(\alpha^{-1})_{kl}h_{l}} $$  $$Z[h] = \int^{\infty}_{\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big]e^{-\frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l=1} (y_{k}\alpha_{kl} y_{l}) + \frac{1}{2}\sum^{N}_{k,l}h_{k}(\alpha^{-1})_{kl}h_{l}} $$ 
Line 85: Line 85:
 $k$ 와 $m$ 번째 변수의 상관함수는 단순히 2번만 미분하면 된다.  $k$ 와 $m$ 번째 변수의 상관함수는 단순히 2번만 미분하면 된다. 
  
-$$ <x_{k}x_{m}> = (\alpha^{-1})_{km} $$+$$ \left< x_{k}x_{m} \right> = (\alpha^{-1})_{km} $$
  
 ======윅(Wick)의 정리====== ======윅(Wick)의 정리======
Line 107: Line 107:
 마지막에 $h=0$을 넣어주면 결과는 다음과 같다.  마지막에 $h=0$을 넣어주면 결과는 다음과 같다. 
  
-$$ (Const) \frac{1}{2} \Big[(\alpha^{-1})_{12})(\alpha^{-1})_{34}+ (\alpha^{-1})_{21})(\alpha^{-1})_{43}+ ... + (\alpha^{-1})_{41})(\alpha^{-1})_{23})\Big] $$+$$ (Const) \frac{1}{2} \Big[(\alpha^{-1})_{12}(\alpha^{-1})_{34} + (\alpha^{-1})_{21}(\alpha^{-1})_{43} + ... + (\alpha^{-1})_{41}(\alpha^{-1})_{23}\Big] $$
  
-위에서 구한 관계 $ <x_{k}x_{m}> = (\alpha^{-1})_{km} $ 와 $(\alpha^{-1})_{km} = (\alpha^{-1})_{mk} $를 이용하여 (두번째 조건은 대칭화 시킨+위에서 구한 관계 $ \left<x_{k}x_{m} \right> = (\alpha^{-1})_{km} $ 와 $(\alpha^{-1})_{km} = (\alpha^{-1})_{mk} $를 이용하여 (두번째 조건은 대칭화 시킨
 $\alpha$에 대해 유효하다.) 식을 정리하면 아래와 같은 결과를 얻는다.  $\alpha$에 대해 유효하다.) 식을 정리하면 아래와 같은 결과를 얻는다. 
  
-$$\Big<\prod_{i=1}^{4}x_{i}\Big> = <x_{1}x_{2}><x_{3}x_{4}> + <x_{1}x_{3}><x_{2}x_{4}> + <x_{1}x_{4}><x_{2}x_{3}> $$+$$\Big<\prod_{i=1}^{4}x_{i}\Big>\left<x_{1}x_{2}\right>\left<x_{3}x_{4}\right> + \left<x_{1}x_{3}\right>\left<x_{2}x_{4}\right> + \left<x_{1}x_{4}\right>\left<x_{2}x_{3}\right> $$
  
 일반화된 식은 아래와 같다.  일반화된 식은 아래와 같다. 
  
-$$\Big<\prod_{i=1}^{n}x_{i}\Big> = <x_{1}x_{2}><x_{3}x_{4}> ... <x_{n-1}x_{n}> + ... $$+$$\Big<\prod_{i=1}^{n}x_{i}\Big>\left<x_{1}x_{2}\right>\left<x_{3}x_{4}\right> ... \left<x_{n-1}x_{n}\right> + ... $$
  
 계산할 때 1번째 변수는 언제나 앞에 두고 나머지 변수의 순서를 바꾸면서 계산한다. 계산할 때 1번째 변수는 언제나 앞에 두고 나머지 변수의 순서를 바꾸면서 계산한다.
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