수학:코흐_곡선

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먼저 아래와 같은 모양을 형성하는 선을 고려하자.

위의 그림을 살펴보면 길이 5인 직선이, 변환 I를 거침으로 선의 총 길이가 11로 변한것을 알 수 있다. 우측의 수직점선을 그은 것과 같이, 선의 모양변화를 5구역으로 나누어 생각해볼 수 있다.

이제 여기서 크기를 키우는 작업을 시행하자. 그 변환을 S라고 부르고, 크기는 5배씩 증가시킨다. 과정 S와 I는 도형의 변환에 따라 그 수가 달라지는 데, 지금의 경우에서는 선 하나에 대해서 5개 구역으로 나뉠 수 있으므로, 변환 1회시 S와 I가 각 5배가 된다. 초기 도형에서 변환 S, I, S를 거치면 아래와 같은 도형이 된다.

(※ 하나의 이미지에 담기 위해 여기서는 변환 S를 2.5배로 두었다.)

이와 비슷한 모양으로 변환을 거치는 프랙탈 도형을 코흐 곡선이라고 부른다.

이차 코흐곡선

이번에는 하나의 선을 이용하여 형성된 프랙탈을 면으로 구성하여 변환을 거쳐보자. 이러한 프랙탈 도형을 이차 코흐곡선(Quadratic Koch curve), 이차 코흐 섬(Quadratic Koch island), 또는 코흐 눈꽃송이(Koch snowflake) 등으로 불린다. 앞의 과정과 같이 선의 길이는 5이고, 여기서는 기본 도형이 사각형으로 시작한다.

마찬가지로 다음 변환을 진행하기 위해, 가로 및 세로의 길이를 5배 늘리고, 변환 I를 진행하여 그림을 그릴 수 있을 것이다. 하지만 앞의 선의 경우와 달리 면을 형성하고 있어 다소 복잡하므로, 다음 변환을 생각하기 위해 규칙을 찾아보자. 사각형이 변환 I를 거쳐 모습이 형성되었을 때, 2차원 격자를 그어 살펴보자.

외부는 신경쓰지 않고, 내부에서 형성되는 사각형을 살펴보면, 6가지의 공통된 사각형을 가지는 것을 확인할 수 있다.

번호순대로 모양별 사각형을 square, dead-end, corner, parallel, line, empty라고 부르자. 오른쪽에 그려진 도형은 각 도형별로 변환 I를 거쳤을 때 생각할 수 있는 그림이다.

주어진 변환을 행렬로 구성하고, 변환되는 사각형을 벡터로 구성하면, 간단히 선형방정식으로 구성할 수 있는 것을 알 수 있다. 각 사각형에 대한 기저를 아래와 같이 구성하자.

\begin{equation} \vec{d}_{\rm sq} \quad \vec{d}_{\rm dead} \quad \vec{d}_{\rm cor} \quad \vec{d}_{\rm para} \quad \vec{d}_{\rm line} \quad \vec{d}_{\rm empty} \end{equation}

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