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수학:텐서 [2016/10/28 00:46] – [계량 텐서] admin | 수학:텐서 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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로서, 여기에서 만일 $u = x^j$라면 | 로서, 여기에서 만일 $u = x^j$라면 | ||
$$\nabla u = \frac{\partial x^j}{\partial x^i} \vec{a}^i = \delta^j_i \vec{a}^i = \vec{a}^j$$ | $$\nabla u = \frac{\partial x^j}{\partial x^i} \vec{a}^i = \delta^j_i \vec{a}^i = \vec{a}^j$$ | ||
- | 가 됨으로써 기울기는 __반변__ 벡터가 될 수 있다. 이는 그 원소가 공변이라는 진술과 모순이 아니라 오히려 | + | 가 됨으로써 기울기는 __반변__ 벡터가 될 수 있다. 이는 그 원소가 공변이라는 진술과 모순이 아니라 오히려 |
======계량 텐서====== | ======계량 텐서====== | ||
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$d\vec{s} = dx^i \vec{a}_i$ | $d\vec{s} = dx^i \vec{a}_i$ | ||
이고 따라서 그 제곱은 $ds^2 = dx^i dx^j \vec{a}_i \cdot \vec{a}_j$이다. | 이고 따라서 그 제곱은 $ds^2 = dx^i dx^j \vec{a}_i \cdot \vec{a}_j$이다. | ||
- | $g_{ij} \equiv \vec{a}_i \cdot \vec{a}_j$로 정의하면 $ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$이며, | + | $g_{ij} \equiv \vec{a}_i \cdot \vec{a}_j$로 정의하면 $ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$이며, |
+ | |||
+ | 데카르트 좌표계에서 $g_{ij} = \delta_{ij}$이다. | ||
이제 기저 벡터 $\vec{\alpha}_i$를 가지는 새로운 $\tilde{x}^i$ 좌표계를 생각해보자. 변위 벡터가 $\vec{s} = \tilde{x}^i \vec{\alpha}_i = \tilde{x}_i \vec{\alpha}^i$로 표현되므로 | 이제 기저 벡터 $\vec{\alpha}_i$를 가지는 새로운 $\tilde{x}^i$ 좌표계를 생각해보자. 변위 벡터가 $\vec{s} = \tilde{x}^i \vec{\alpha}_i = \tilde{x}_i \vec{\alpha}^i$로 표현되므로 | ||
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이다. __기존 좌표계__에서의 기저 벡터 $\vec{a}_i$로 표현되었음에 유의한다. 행렬 $J$가 원소로서 | 이다. __기존 좌표계__에서의 기저 벡터 $\vec{a}_i$로 표현되었음에 유의한다. 행렬 $J$가 원소로서 | ||
$$J_{ij} = \frac{\partial x^i}{\partial \tilde{x}^j}$$ | $$J_{ij} = \frac{\partial x^i}{\partial \tilde{x}^j}$$ | ||
- | 를 가진다고 하자. $J$의 $i$ 번째 열은 $\vec{\alpha}_i$를 __원래의 | + | 를 가진다고 하자. |
원래의 $x^i$ 좌표계에서의 기술을 이 $\tilde{x}^i$ 좌표계로 옮겨주는 행렬 $R$을 고려하면, | 원래의 $x^i$ 좌표계에서의 기술을 이 $\tilde{x}^i$ 좌표계로 옮겨주는 행렬 $R$을 고려하면, | ||
$$R_{ij} = \frac{\partial \tilde{x}^i}{\partial x^j}.$$ | $$R_{ij} = \frac{\partial \tilde{x}^i}{\partial x^j}.$$ | ||
- | 한편 우리는 이미 $\nabla x^i = \vec{a}^i$임을 보았다. 이는 $\nabla \tilde{x}^i = \vec{\alpha}^i$임을 유츄하게끔 해주는데, | + | 한편 우리는 이미 $\nabla x^i = \vec{a}^i$임을 보았다. 이는 $\nabla \tilde{x}^i = \vec{\alpha}^i$임을 유츄하게끔 해주는데, |
$R = J^{-1}$이므로 $J^T J R R^T = I$임은 자명하다. 이를 고쳐 적어보면 | $R = J^{-1}$이므로 $J^T J R R^T = I$임은 자명하다. 이를 고쳐 적어보면 | ||
- | $$R J = J^T J R R^T = \tilde{g} R R^T$$ | + | $R J = J^T J R R^T = \tilde{g} R R^T$ |
- | 인데 좌변의 $R J$는 새로운 좌표계에서 적은 $\vec{\alpha}_i$들을 묶어놓은 것이고, 제일 오른쪽에 등장하는 $R R^T$는 마찬가지로 새로운 좌표계에서 적은 $\vec{\alpha}^i$들을 열 벡터들로 묶어둔 것이다. 이 좌표계에서 적은 계량 텐서 $\tilde{g}$가 양쪽을 연결해주는데, | + | 인데 좌변의 $R J$는 새로운 좌표계에서 적은 $\vec{\alpha}_j$들을 묶어놓은 것이고, 제일 오른쪽에 등장하는 $R R^T$는 마찬가지로 새로운 좌표계에서 적은 $\vec{\alpha}^i$들을 열 벡터들로 묶어둔 것이다. 이 좌표계에서 적은 계량 텐서 $\tilde{g}$가 양쪽을 연결해주는데, |
- | + | ||
- | + | ||
+ | 예를 들어 | ||
+ | $\left\{ \begin{array}{lcl} | ||
+ | x_1& | ||
+ | x_2& | ||
+ | \end{array}\right.$, | ||
+ | 혹은 다른 말로 | ||
+ | $\left\{ \begin{array}{lcl} | ||
+ | \tilde{x}_1& | ||
+ | \tilde{x}_2& | ||
+ | \end{array}\right.$, | ||
+ | 라고 해보자. 위의 $J$ 행렬은 이 경우 다음처럼 구해질 것이다: | ||
+ | $$J = \begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 1\\0 & 1 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | = \begin{pmatrix} | ||
+ | \vec{\alpha}_1 & \vec{\alpha}_2. | ||
+ | \end{pmatrix}$$ | ||
+ | 따라서 계량 텐서는 $\tilde{g} = J^T J = \begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix}$이다. 다른 한편으로 위에서 쓴 $R$ 행렬은 아래와 같을 것이다: | ||
+ | $$R = \begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & -1 \\ 0 & 1 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | = \begin{pmatrix} | ||
+ | \vec{\alpha}^{1^T} \\ | ||
+ | \vec{\alpha}^{2^T} | ||
+ | \end{pmatrix}.$$ | ||
+ | 위의 항등식 $RB = gRR^T$로부터 아래의 관계식을 쉽게 확인할 수 있다: | ||
+ | $$R \begin{pmatrix} | ||
+ | \vec{\alpha}_1 & \vec{\alpha}_2 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | = g R \begin{pmatrix} | ||
+ | \vec{\alpha}^1 & \vec{\alpha}^2 | ||
+ | \end{pmatrix}.$$ | ||
+ | 즉 새로운 좌표계에서 기술한 반변 텐서 $R \vec{\alpha}^i$가 $\tilde{g}$에 의해 (역시 새로운 좌표계에서 기술한) 공변 텐서 $R \vec{\alpha}_i$로 옮겨진다. | ||
======참고문헌====== | ======참고문헌====== |