수학:텐서

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수학:텐서 [2016/10/28 00:49] – [계량 텐서] admin수학:텐서 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
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 $d\vec{s} = dx^i \vec{a}_i$ $d\vec{s} = dx^i \vec{a}_i$
 이고 따라서 그 제곱은 $ds^2 = dx^i dx^j \vec{a}_i \cdot \vec{a}_j$이다. 이고 따라서 그 제곱은 $ds^2 = dx^i dx^j \vec{a}_i \cdot \vec{a}_j$이다.
-$g_{ij} \equiv \vec{a}_i \cdot \vec{a}_j$로 정의하면 $ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$이며, 이 때 $g_{ij}$를 계량 텐서라고 부른다. 데카르트 좌표계에서 $g_{ij} = \delta_{ij}$이다.+$g_{ij} \equiv \vec{a}_i \cdot \vec{a}_j$로 정의하면 $ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$이며, 이 때 $g_{ij}$를 계량 텐서라고 부른다. 
 + 
 +데카르트 좌표계에서 $g_{ij} = \delta_{ij}$이다.
  
 이제 기저 벡터 $\vec{\alpha}_i$를 가지는 새로운 $\tilde{x}^i$ 좌표계를 생각해보자. 변위 벡터가 $\vec{s} = \tilde{x}^i \vec{\alpha}_i = \tilde{x}_i \vec{\alpha}^i$로 표현되므로 이제 기저 벡터 $\vec{\alpha}_i$를 가지는 새로운 $\tilde{x}^i$ 좌표계를 생각해보자. 변위 벡터가 $\vec{s} = \tilde{x}^i \vec{\alpha}_i = \tilde{x}_i \vec{\alpha}^i$로 표현되므로
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 이다. __기존 좌표계__에서의 기저 벡터 $\vec{a}_i$로 표현되었음에 유의한다. 행렬 $J$가 원소로서 이다. __기존 좌표계__에서의 기저 벡터 $\vec{a}_i$로 표현되었음에 유의한다. 행렬 $J$가 원소로서
 $$J_{ij} = \frac{\partial x^i}{\partial \tilde{x}^j}$$ $$J_{ij} = \frac{\partial x^i}{\partial \tilde{x}^j}$$
-를 가진다고 하자. $J$의 $i$ 번째 열은 $\vec{\alpha}_i$를 __기존 좌표계__에서 표현한 것에 해당한다. 그리고 __새로운 좌표계__에서의 공변 계량 텐서는 행렬 $\tilde{g} = J^T J$로 표현된다.+를 가진다고 하자. 위 $\vec{\alpha}_j$의 표현식과 비교해보면, $J$의 $j$ 번째 열은 $\vec{\alpha}_j$를 __기존 좌표계__에서 표현한 것에 해당한다. 그리고 __새로운 좌표계__에서의 공변 계량 텐서는 행렬 $\tilde{g} = J^T J$로 표현된다.
  
 원래의 $x^i$ 좌표계에서의 기술을 이 $\tilde{x}^i$ 좌표계로 옮겨주는 행렬 $R$을 고려하면, 그 행렬의 원소는 다음처럼 주어진다: 원래의 $x^i$ 좌표계에서의 기술을 이 $\tilde{x}^i$ 좌표계로 옮겨주는 행렬 $R$을 고려하면, 그 행렬의 원소는 다음처럼 주어진다:
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 $R = J^{-1}$이므로 $J^T J R R^T = I$임은 자명하다. 이를 고쳐 적어보면 $R = J^{-1}$이므로 $J^T J R R^T = I$임은 자명하다. 이를 고쳐 적어보면
-$$R J = J^T J R R^T = \tilde{g} R R^T$+$R J = J^T J R R^T = \tilde{g} R R^T$ 
-인데 좌변의 $R J$는 새로운 좌표계에서 적은 $\vec{\alpha}_i$들을 묶어놓은 것이고, 제일 오른쪽에 등장하는 $R R^T$는 마찬가지로 새로운 좌표계에서 적은 $\vec{\alpha}^i$들을 열 벡터들로 묶어둔 것이다. 이 좌표계에서 적은 계량 텐서 $\tilde{g}$가 양쪽을 연결해주는데, 구체적으로는 반변 텐서를 공변으로 바꾸어준다. +인데 좌변의 $R J$는 새로운 좌표계에서 적은 $\vec{\alpha}_j$들을 묶어놓은 것이고, 제일 오른쪽에 등장하는 $R R^T$는 마찬가지로 새로운 좌표계에서 적은 $\vec{\alpha}^i$들을 열 벡터들로 묶어둔 것이다. 이 좌표계에서 적은 계량 텐서 $\tilde{g}$가 양쪽을 연결해주는데, 구체적으로는 반변 텐서를 공변으로 바꾸어준다.
- +
- +
  
 +예를 들어
 +$\left\{ \begin{array}{lcl}
 +x_1&=&\tilde{x}_1+\tilde{x}_2\\
 +x_2&=&\tilde{x}_2
 +\end{array}\right.$,
 +혹은 다른 말로
 +$\left\{ \begin{array}{lcl}
 +\tilde{x}_1&=&x_1-x_2\\
 +\tilde{x}_2&=&x_2
 +\end{array}\right.$,
 +라고 해보자. 위의 $J$ 행렬은 이 경우 다음처럼 구해질 것이다:
 +$$J = \begin{pmatrix}
 +1 & 1\\0 & 1
 +\end{pmatrix}
 += \begin{pmatrix}
 +\vec{\alpha}_1 & \vec{\alpha}_2.
 +\end{pmatrix}$$
 +따라서 계량 텐서는 $\tilde{g} = J^T J = \begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix}$이다. 다른 한편으로 위에서 쓴 $R$ 행렬은 아래와 같을 것이다:
 +$$R = \begin{pmatrix}
 +1 & -1 \\ 0 & 1
 +\end{pmatrix}
 += \begin{pmatrix}
 +\vec{\alpha}^{1^T} \\
 +\vec{\alpha}^{2^T}
 +\end{pmatrix}.$$
 +위의 항등식 $RB = gRR^T$로부터 아래의 관계식을 쉽게 확인할 수 있다:
 +$$R \begin{pmatrix}
 +\vec{\alpha}_1 & \vec{\alpha}_2
 +\end{pmatrix}
 += g R \begin{pmatrix}
 +\vec{\alpha}^1 & \vec{\alpha}^2
 +\end{pmatrix}.$$
 +즉 새로운 좌표계에서 기술한 반변 텐서 $R \vec{\alpha}^i$가 $\tilde{g}$에 의해 (역시 새로운 좌표계에서 기술한) 공변 텐서 $R \vec{\alpha}_i$로 옮겨진다.
  
 ======참고문헌====== ======참고문헌======
  • 수학/텐서.1477585185.txt.gz
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