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--- 수학:특이값_분해_singular_value_decomposition [2022/04/18 20:48] – created yong
+++ 수학:특이값_분해_singular_value_decomposition [2022/04/19 14:26] – [특이값과 고윳값의 관계] yong
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 \sigma_1 & 0 & \dots & & 0 \\
 & \sigma_2 &  & & \\
-\vdots &  & \ddots & & \\
+\vdots &  & \ddots & & \vdots \\
- & & & & \sigma_n & & \\
+ & & & \sigma_{n-1} & \\
+ & & \dots & & \sigma_n \\
 & & \dots & & 0 \\
 \vdots & & & & \vdots \\
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 &= V\Sigma^T\Sigma V^{\dagger}
 \end{align}
-으로 정방행렬에 대한 고윳값 분해와 같은 꼴이 된다. 따라서 위의 식을 만족하는 고윳값을 $\lambda_i$라고 할 때,
+으로 정방행렬에 대한 고윳값 분해와 같은 꼴이 된다. 따라서 행렬 $\Sigma$의 특이값을 $\sigma_i$, 고윳값을 $\lambda_i$이라고 하면 아래의 식이 성립한다.
 \begin{equation}
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 ===== 무어-펜로즈 유사역행렬 =====
-앞의 행렬 X_{mn}에 대한 유사역행렬(pseudo-inverse matrix)을 $X^{+}$이라고 하면
+앞의 행렬 $X_{mn}$에 대한 유사역행렬(pseudo-inverse matrix)을 $X^{+}$이라고 하면
 \begin{equation}
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 \frac{1}{\sigma_1} & 0 & \dots & & 0 & 0 & \dots & 0 \\
 & \frac{1}{\sigma_2} &  & & & \\
-\vdots &  & \ddots & & & \\
+\vdots &  & \ddots & & & \vdots & & \vdots \\
-& & & & \frac{1}{\sigma_n} & 0 & \dots & 0 \\
+& & & \frac{1}{\sigma_{n-1}} & & & & \\
+& & \dots & & \frac{1}{\sigma_n} & 0 & \dots & 0 \\
 \end{pmatrix}
 \end{equation}
-이 행렬과 X를 곱하면
+유사 역행렬 $X^{+}$과 $X$를 곱하면
 \begin{equation}
@@ Line 65: / Line 67: @@
 \end{equation}
-를 만족하여 $X^{+}$는 X의 역행렬이 된다. 주의할 점은 유사역행렬이라는 이름답게 $XX^{+}\neq I$이라는 점이다.
+를 만족하여 $X^{+}$는 X의 역행렬이 된다. 주의할 점은 유사역행렬이라는 이름답게 $XX^{+}\neq I$이라는 점이다. 만약 행렬 $X$의 행과 열의 크기가 $m<n$인 경우, $XX^{+}=I$이며 $X^{+}X\neq I$이 된다.
+이러한 특징으로 인해 유사역행렬은 아래 네가지의 관계식을 만족한다.
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+XX^{+}X=X \qquad X^{+}XX^{+}=X^{+}
+\end{aligned}\\
+\begin{aligned}
+\left(XX^{+}\right)^{\dagger} = XX^{+} \qquad \left(X^{+}X\right)^{\dagger} = X^{+}X
+\end{aligned}
+\end{equation}
 ====== 참고문헌 ======
   * K.Cahill, //Physical Mathematics//, 2nd ed, 1.32~1.33