수학:푸리에_변환 [statphys]

This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong.
======푸리에 급수======
주기함수를 삼각함수의 가중치로 분해한 급수. 주기가 $L$이며 $x \in [0,L)$에서 정의된 함수 $f(x) = f(x+L)$을 생각하자. 이를 푸리에 급수로 전개하면 다음처럼 쓸 수 있다:
$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \exp \left(i \frac{2\pi n x}{L} \right).$$
결국 문제는 계수 $c_n$을 찾는 것인데, 이는 복소 지수함수의 직교성을 이용하면 다음처럼 구할 수 있다:
$$c_n = \frac{1}{L} \int_0^L f(x) \exp\left(-i \frac{2\pi n x}{L} \right).$$

=====이산 푸리에 급수=====
전체 구간을 $N$개로 나누어 $a=L/N$의 간격마다 함수값 $y_j = f(x_j)$를 가지고 있다고 하자 ($x_j = ja$). 이 정보를 사용해 위의 적분을 사다리꼴 규칙으로써 근사적으로 구하면
\begin{eqnarray}
c_n &\approx& \frac{1}{L} \frac{L}{N} \left[ \frac{1}{2}f(0) + \frac{1}{2}f(L) + \sum_{j=1}^{N-1} \exp \left( -i \frac{2\pi n x_j}{L} \right) \right]\\
&=& \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} f(x_j) \exp \left( -i \frac{2\pi n x_j}{L} \right)\\
&=& \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} y_j \exp \left( -i \frac{2\pi n j}{N} \right).
\end{eqnarray}
그리고 우리가 가지고 있던 $\{ y_j \}$는 다음처럼 구해지는데
$$y_j = \sum_{n=0}^{N-1} c_n \exp \left(i \frac{2\pi n j}{N} \right)$$
이 식은 [[수학:크로네커 델타]]의 합 표현식 덕분에, 근사가 아닌 정확한 표현이다.

모양을 더욱 대칭적으로 만들기 위해 아래처럼 정의하는 경우도 있다:
\begin{eqnarray}
c_n &=& \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} y_j \exp \left( -i \frac{2\pi n j}{N} \right)\\
y_j &=& \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=0}^{N-1} c_n \exp \left(i \frac{2\pi n j}{N} \right).
\end{eqnarray}



======푸리에 변환======


=====함께 보기======
[[물리:조화 고체]]

======참고 문헌======
  * M. E. J. Newman, //Computational Physics// (Createspace Independent, 2012).