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--- 수학:확률 [2017/01/20 15:56] – admin
+++ 수학:확률 [2021/02/08 22:26] – [상호독립과 짝독립] minjae
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   *데이터를 수집하면서 베이즈의 정리를 따라 매개변수에 대한 우리의 믿음을 고쳐나간다. 이를 통해 사후(posterior) 확률을 얻는다.
-======독립사건======
+======확률론의 반례들======
-$(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$을 확률공간이라고 하자. $\mathcal{F}$의 사건 $A$와 사건 $B$가 $\mathbp{P}(AB)=\mathbp{P}(A)\mathbp{P}(B)$를 만족시킬 때 사건 $A$와 $B$는 독립이라 한다.\\
-좀 더 일반적으로 사건의 모임 $\mathcal{A}_{1}$과 $\mathcal{A}_{2}$이 $\mathcal{A}_{1}$,$\mathcal{A}_{2}\in\mathcal{F}$이며 사건 $A_{1}$과 $A_{2}$에 대해 각각 $\mathcal{A}_{1} \in A_{1}$, $\mathcal{A}_{2} \in A_{2}$를 만족한다면 사건의 모임 $\mathcal{A}_{1}$과 $\mathcal{A}_{2}$은 독립이라 한다.
 =====상호독립과 짝독립=====
-$\mathpb{P}(A_{i_{1}} A_{i_{2}}\cdots A_{i_{k}})=\mathpb{P}(A_{i_{1}})\mathpb{P}(A_{i_{2}})\cdots\mathpb{P}(A_{i{k}})$가 $k=2,\ldots,n$, $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots<i_{k}\leq n$인 모든 $k$와 $i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}$에 대해 만족된다면 \\
+$\mathbb{P}(A_{i_{1}} A_{i_{2}}\cdots A_{i_{k}})=\mathbb{P}(A_{i_{1}})\mathbb{P}(A_{i_{2}})\cdots\mathbb{P}(A_{i_{k}})$가 $k=2,\ldots,n$인 모든 $k$와, $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots<i_{k}\leq n$인 모든 $i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}$에 대해 만족된다면
 $A_{1},\ldots,A_{n}\in \mathcal{F}$는 상호독립이라 한다. $k=n=2$인 경우에는 짝독립이라 한다.
-====상호독립과 짝독립의 관계====
-다음과 같은 상황을 생각하자. \\
-겉보기에 차이가 없는 $16$개의 바구니가 앞에 놓여 있다. 바구니 안에는 $1$ 또는 $0$이 적힌 쪽지 하나씩이 들어 있는 공 $3$개가 각각 $1,2,3$이라고 표시되어 있다. 이 때, 우리가 바구니 하나를 열어서 $1$번 공에 $0$이 적힌 쪽지가 있을 지 $1$이 적혀 있을지 확인할 수 있을 것이다. 이러한 상황은 아래와 같이 표기될 수 있다.\\
-$A_{i}=$ $\{$ $i$번째 공에 $'1'$이 적혀있는 경우 $\}, i=1,2,3$
+상호독립과 짝독립의 관계를 보기 위해 다음과 같은 상황을 생각하자.
+겉보기에 차이가 없는 $16$개의 바구니가 앞에 놓여 있다. 바구니 안에는 $1$ 또는 $0$이 적힌 쪽지 하나씩이 들어 있는 공 $3$개가 각각 $1,2,3$이라고 표시되어 있다. 이 때, 우리가 바구니 하나를 열어서 $1$번 공에 $0$이 적힌 쪽지가 있을 지 $1$이 적혀 있을지 확인할 수 있을 것이다. 이러한 상황은 아래와 같이 표기될 수 있다.
+$A_{i}=$ $\{$ $i$번째 공에 $1$이 적혀있는 경우 $\}, i=1,2,3$
 그렇다면
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 이 되어 $A_{1},A_{2},A_{3}$은 짝독립이 된다.
-하지만 $P(A_{1}A_{2}A_{3})=\frac{3}{16}\neq\frac{1}{8}=P(A_{1})P(A_{2})P(A_{3})$인 사실로부터 상호독립은 아니라는 것을 알 수 있다. 상호독립이면 짝독립을 만족한다.
+하지만 $P(A_{1}A_{2}A_{3})=\frac{3}{16}\neq\frac{1}{8}=P(A_{1})P(A_{2})P(A_{3})$인 사실로부터 상호독립은 아니라는 것을 알 수 있다. 하지만 역으로 상호독립이면 짝독립을 만족한다.
 ======함께 보기======
 [[수학:베이즈의 정리]]
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 [[수학:베이지언 자백약]]
+[[수학:대기시간의 역설]]
 ======참고문헌======
   * W. M. Bolstad, Introduction to Bayesian statistics (Wiley, Hoboken, NJ, 2007).
   * J. M. Stoyanov, Counterexamples in Probability, 3rd edition(Dover, 2013)