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수학:1차_선형_상미분방정식 [2018/12/07 11:57] – [방정식에 연산자가 있는 경우] admin | 수학:1차_선형_상미분방정식 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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$P(x)$와 $Q(x)$가 주어져있을 때, $y(x)$가 다음의 미분방정식을 만족한다고 하자: | $P(x)$와 $Q(x)$가 주어져있을 때, $y(x)$가 다음의 미분방정식을 만족한다고 하자: | ||
- | $$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$ | + | $$\frac{dy}{dx} + P(x)y(x) = Q(x)$$ |
- | 초기 조건이 $y(x_0)=y_0$로 주어진다면, | + | 초기 조건이 $y(x=x_0)=y_0$로 주어진다면, |
$$y(x) = e^{-I(x; | $$y(x) = e^{-I(x; | ||
- | 이 때 $I(x;x_0) \equiv \int_{x_0}^x P(x') dx' | + | 이 때 $I(x;x_0) \equiv \int_{x_0}^x P(x') dx' |
+ | $$y(x) = \int_{x_0}^x e^{-I(x; | ||
=====방정식에 연산자가 있는 경우===== | =====방정식에 연산자가 있는 경우===== | ||
- | 위의 방정식은 분리가 되므로(separable) 이를 이용하여 간단하게 해를 구할 수 있다. 하지만 미분방정식에 연산자가 있는 경우에는 이 방법으로 해를 구할 수 없다. 즉 | + | |
+ | ====동차==== | ||
+ | 위의 방정식은 분리가 되므로(separable) 이를 이용하여 간단하게 해를 구할 수 있다. 하지만 미분방정식에 연산자가 있는 경우에는 이 방법으로 해를 구할 수 없다. 즉, 예컨대 우변이 $0$인 동차 방정식에서 | ||
$$\frac{dy}{dx}+P(x)y(x)=0$$ | $$\frac{dy}{dx}+P(x)y(x)=0$$ | ||
Line 21: | Line 24: | ||
y(x) &= y_0 - \int_0^xdx_1P(x_1)y(x_1) \\ | y(x) &= y_0 - \int_0^xdx_1P(x_1)y(x_1) \\ | ||
&= y_0 - \int_0^xdx_1P(x_1)\left[y_0-\int_0^{x_1}dx_2P(x_2)y(x_2)\right] \\ | &= y_0 - \int_0^xdx_1P(x_1)\left[y_0-\int_0^{x_1}dx_2P(x_2)y(x_2)\right] \\ | ||
- | &= y_0 - \int_0^xdx_1P(x_1)y_0 | + | &= y_0 - \int_0^xdx_1P(x_1)y_0 |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Line 32: | Line 35: | ||
마지막 식은 중간 식에서 $x_1$과 $x_2$를 바꾸어 적은 것이며, 그림에서 검정색, 파란색, 빨간색으로 표시한 적분은 위의 적분식에서 순서대로 좌측, 중간, 우측 적분식을 의미한다. | 마지막 식은 중간 식에서 $x_1$과 $x_2$를 바꾸어 적은 것이며, 그림에서 검정색, 파란색, 빨간색으로 표시한 적분은 위의 적분식에서 순서대로 좌측, 중간, 우측 적분식을 의미한다. | ||
- | 작은 $x_i$ 쪽이 오른쪽에 오게끔 하는 정렬(ordering) 연산자 $\mathcal{T}$를 도입하자. | + | 작은 $x_i$ 쪽이 오른쪽에 오게끔 하는 |
+ | $$\mathcal{T} P(x_1) P(x_2) = \left\{ \begin{array}{ll} | ||
+ | P(x_1) P(x_2), & x_1 \ge x_2\\ | ||
+ | P(x_2) P(x_1), & x_1 < x_2.\\ | ||
+ | \end{array}\right.$$ | ||
위에서 좌측과 우측의 적분식을 더하면 그림으로부터 | 위에서 좌측과 우측의 적분식을 더하면 그림으로부터 | ||
- | $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2P(x_1)P(x_2) y_0 + \int_0^xdx_1\int_{x_1}^xdx_2P(x_2)P(x_1) y_0 = \int_0^xdx_1\int_0^xdx_2 \mathcal{T}P(x_1)P(x_2) y_0 = \mathcal{T} \left[\int_0^xdx_1P(x_1)\right]^2 y_0$$ | + | $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2P(x_1)P(x_2) y_0 + \int_0^xdx_1\int_{x_1}^xdx_2P(x_2)P(x_1) y_0 = \int_0^xdx_1\int_0^xdx_2 \mathcal{T}P(x_1)P(x_2) y_0 = \mathcal{T} \left[\int_0^xdx' P(x')\right]^2 y_0$$ |
임을 알 수 있는데 좌변의 두 항이 같음을 보였으므로 | 임을 알 수 있는데 좌변의 두 항이 같음을 보였으므로 | ||
- | $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2P(x_1)P(x_2) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{2}\left[\int_0^xdx_1P(x_1)\right]^2 y_0$$ | + | $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2P(x_1)P(x_2) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{2}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^2 y_0$$ |
를 얻을 수 있다. 보다 일반적인 경우를 증명하기 위해 $x_1< | 를 얻을 수 있다. 보다 일반적인 경우를 증명하기 위해 $x_1< | ||
- | $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_n}dx_{n-1}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_n) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx_1P(x_1)\right]^2 y_0$$ | + | $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_n}dx_{n-1}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_n) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0$$ |
를 가정하자. 그리고 여기에 $x$에 대한 미분을 취하면 | 를 가정하자. 그리고 여기에 $x$에 대한 미분을 취하면 | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | \frac{d}{dx}\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n+1}}dx_n P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_n) y_0 &= P(x)\int_0^xdx_2\int_0^{x_2}dx_3\cdots\int_0^{x_n}dx_{n+1}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_n) y_0 \\ | + | \frac{d}{dx}\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n+1}}dx_n P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_n) y_0 &= P(x)\int_0^xdx_2\int_0^{x_2}dx_3\cdots\int_0^{x_n}dx_{n+1}P(x_2)P(x_3)\cdots P(x_{n+1}) y_0 \\ |
- | &= \mathcal{T} P(x) \frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx_1P(x_2)\right]^n y_0 \\ | + | &= \mathcal{T} P(x) \frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0 \\ |
- | &= \mathcal{T} \frac{d}{dx}\frac{1}{(n+1)!}\left[\int_0^xdx_1P(x_1)\right]^{n+1} y_0 | + | &= \mathcal{T} \frac{d}{dx}\frac{1}{(n+1)!}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^{n+1} y_0 |
\end{align*} | \end{align*} | ||
를 얻을 수 있고 위에서 $n=1$일 때 성립하는 것을 보였으므로 이것은 수학적 귀납법에 의해 자연수 $n$에 대해 일반적으로 성립한다는 것을 알 수 있다. 결론적으로 해는 | 를 얻을 수 있고 위에서 $n=1$일 때 성립하는 것을 보였으므로 이것은 수학적 귀납법에 의해 자연수 $n$에 대해 일반적으로 성립한다는 것을 알 수 있다. 결론적으로 해는 | ||
- | $$y(x) = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{T}\frac{(-1)^n}{n!}\left[\int_0^xdx_1P(x_1)\right]^n y_0 = \mathcal{T}\exp\left[-\int_0^xdx^\prime P(x^\prime)\right]y_0$$ | + | $$y(x) = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{T}\frac{(-1)^n}{n!}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0 = \mathcal{T}\exp\left[-\int_0^xdx^\prime P(x^\prime)\right]y_0$$ |
+ | |||
+ | 이다. | ||
- | 이다. | + | ====비동차==== |
+ | 우변의 $Q(x)$가 0이 아닌 경우에도 비슷하게 풀 수 있다. | ||
+ | $$\frac{dy}{dx} = -P(x)y(x) + Q(x)$$ | ||
+ | 를 | ||
+ | $$y(x) = y_0 + \int_0^x dx_1 \left[ -P(x_1)y(x_1) + Q(x_1) \right]$$ | ||
+ | 으로 쓴 다음 위에서처럼 계속 대입할 수 있다. 위에서 이미 등장한 항들 외에 $Q(x)$ 때문에 새로 등장하는 항들은 아래와 같다: | ||
+ | $$\int_0^x dx_1 Q(x_1) - \int_0^x dx_1 \int_0^{x_1} dx_2 P(x_1) Q(x_2) + \int_0^x dx_1 \int_0^{x_1} dx_2 \int_0^{x_2} dx_3 P(x_1) P(x_2) Q(x_3) + \ldots.$$ | ||
+ | 첫 번째 항은 변수명만 바꾸어두자: | ||
+ | $$\int_0^x dx_1 Q(x_1) = \int_0^x dx' Q(x' | ||
+ | 두 번째 항의 적분 순서를 바꾼 다음 변수명을 바꾸어두자. | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \int_0^x dx_1 \int_0^{x_1} dx_2 P(x_1) Q(x_2) &=& \int_0^x dx_2 \int_{x_2}^x dx_1 P(x_1) Q(x_2)\\ | ||
+ | &=& \int_0^x dx' \int_{x' | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 세 번째 항도 적분 순서를 바꾸어 $x_3$의 적분이 제일 바깥쪽에 오도록 한다. 이 때 변수 2개 사이에서 적분 순서를 바꾸는 일을 두 번 연속해서 하면 된다: | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \int_0^x dx_1 \int_0^{x_1} dx_2 \int_0^{x_2} dx_3 P(x_1) P(x_2) Q(x_3) | ||
+ | &=& \int_0^x dx_1 \int_0^{x_1} dx_3 \int_{x_3}^{x_1} dx_2 P(x_1) P(x_2) Q(x_3)\\ | ||
+ | &=& \int_0^x dx_3 \int_{x_3}^x dx_1 \int_{x_3}^{x_1} dx_2 P(x_1) P(x_2) Q(x_3)\\ | ||
+ | &=& \int_0^x dx_3 \left[ \int_{x_3}^x dx_1 \int_{x_3}^{x_1} dx_2 P(x_1) P(x_2) Q(x_3) \right]. | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 괄호 안의 내용을 살펴보면, | ||
+ | $$\int_{x_3}^x dx_1 \int_{x_3}^{x_1} dx_2 P(x_1) P(x_2) Q(x_3) = \frac{\mathcal{T}}{2} \left[ \int_{x_3}^x dx'' | ||
+ | 따라서 $Q(x)$로 인해 새로 등장한 항들을 다시 써보면 | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | && | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 전체 해는 다음처럼 쓸 수 있다: | ||
+ | $$y(x) = \int_0^x dx' ~~\mathcal{T} \exp \left[ - \int_{x' |