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수학:1차_선형_상미분방정식 [2018/12/31 17:22] – [방정식에 연산자가 있는 경우] minjae | 수학:1차_선형_상미분방정식 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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$P(x)$와 $Q(x)$가 주어져있을 때, $y(x)$가 다음의 미분방정식을 만족한다고 하자: | $P(x)$와 $Q(x)$가 주어져있을 때, $y(x)$가 다음의 미분방정식을 만족한다고 하자: | ||
$$\frac{dy}{dx} + P(x)y(x) = Q(x)$$ | $$\frac{dy}{dx} + P(x)y(x) = Q(x)$$ | ||
- | 초기 조건이 $y(x_0)=y_0$로 주어진다면, | + | 초기 조건이 $y(x=x_0)=y_0$로 주어진다면, |
$$y(x) = e^{-I(x; | $$y(x) = e^{-I(x; | ||
- | 이 때 $I(x;x_0) \equiv \int_{x_0}^x P(x') dx' | + | 이 때 $I(x;x_0) \equiv \int_{x_0}^x P(x') dx' |
+ | $$y(x) = \int_{x_0}^x e^{-I(x; | ||
=====방정식에 연산자가 있는 경우===== | =====방정식에 연산자가 있는 경우===== | ||
+ | |||
+ | ====동차==== | ||
위의 방정식은 분리가 되므로(separable) 이를 이용하여 간단하게 해를 구할 수 있다. 하지만 미분방정식에 연산자가 있는 경우에는 이 방법으로 해를 구할 수 없다. 즉, 예컨대 우변이 $0$인 동차 방정식에서 | 위의 방정식은 분리가 되므로(separable) 이를 이용하여 간단하게 해를 구할 수 있다. 하지만 미분방정식에 연산자가 있는 경우에는 이 방법으로 해를 구할 수 없다. 즉, 예컨대 우변이 $0$인 동차 방정식에서 | ||
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마지막 식은 중간 식에서 $x_1$과 $x_2$를 바꾸어 적은 것이며, 그림에서 검정색, 파란색, 빨간색으로 표시한 적분은 위의 적분식에서 순서대로 좌측, 중간, 우측 적분식을 의미한다. | 마지막 식은 중간 식에서 $x_1$과 $x_2$를 바꾸어 적은 것이며, 그림에서 검정색, 파란색, 빨간색으로 표시한 적분은 위의 적분식에서 순서대로 좌측, 중간, 우측 적분식을 의미한다. | ||
- | 작은 $x_i$ 쪽이 오른쪽에 오게끔 하는 정렬(ordering) 연산자 $\mathcal{T}$를 도입하자: | + | 작은 $x_i$ 쪽이 오른쪽에 오게끔 하는 |
$$\mathcal{T} P(x_1) P(x_2) = \left\{ \begin{array}{ll} | $$\mathcal{T} P(x_1) P(x_2) = \left\{ \begin{array}{ll} | ||
P(x_1) P(x_2), & x_1 \ge x_2\\ | P(x_1) P(x_2), & x_1 \ge x_2\\ | ||
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이다. | 이다. | ||
+ | |||
+ | ====비동차==== | ||
+ | 우변의 $Q(x)$가 0이 아닌 경우에도 비슷하게 풀 수 있다. | ||
+ | $$\frac{dy}{dx} = -P(x)y(x) + Q(x)$$ | ||
+ | 를 | ||
+ | $$y(x) = y_0 + \int_0^x dx_1 \left[ -P(x_1)y(x_1) + Q(x_1) \right]$$ | ||
+ | 으로 쓴 다음 위에서처럼 계속 대입할 수 있다. 위에서 이미 등장한 항들 외에 $Q(x)$ 때문에 새로 등장하는 항들은 아래와 같다: | ||
+ | $$\int_0^x dx_1 Q(x_1) - \int_0^x dx_1 \int_0^{x_1} dx_2 P(x_1) Q(x_2) + \int_0^x dx_1 \int_0^{x_1} dx_2 \int_0^{x_2} dx_3 P(x_1) P(x_2) Q(x_3) + \ldots.$$ | ||
+ | 첫 번째 항은 변수명만 바꾸어두자: | ||
+ | $$\int_0^x dx_1 Q(x_1) = \int_0^x dx' Q(x' | ||
+ | 두 번째 항의 적분 순서를 바꾼 다음 변수명을 바꾸어두자. | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \int_0^x dx_1 \int_0^{x_1} dx_2 P(x_1) Q(x_2) &=& \int_0^x dx_2 \int_{x_2}^x dx_1 P(x_1) Q(x_2)\\ | ||
+ | &=& \int_0^x dx' \int_{x' | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 세 번째 항도 적분 순서를 바꾸어 $x_3$의 적분이 제일 바깥쪽에 오도록 한다. 이 때 변수 2개 사이에서 적분 순서를 바꾸는 일을 두 번 연속해서 하면 된다: | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \int_0^x dx_1 \int_0^{x_1} dx_2 \int_0^{x_2} dx_3 P(x_1) P(x_2) Q(x_3) | ||
+ | &=& \int_0^x dx_1 \int_0^{x_1} dx_3 \int_{x_3}^{x_1} dx_2 P(x_1) P(x_2) Q(x_3)\\ | ||
+ | &=& \int_0^x dx_3 \int_{x_3}^x dx_1 \int_{x_3}^{x_1} dx_2 P(x_1) P(x_2) Q(x_3)\\ | ||
+ | &=& \int_0^x dx_3 \left[ \int_{x_3}^x dx_1 \int_{x_3}^{x_1} dx_2 P(x_1) P(x_2) Q(x_3) \right]. | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 괄호 안의 내용을 살펴보면, | ||
+ | $$\int_{x_3}^x dx_1 \int_{x_3}^{x_1} dx_2 P(x_1) P(x_2) Q(x_3) = \frac{\mathcal{T}}{2} \left[ \int_{x_3}^x dx'' | ||
+ | 따라서 $Q(x)$로 인해 새로 등장한 항들을 다시 써보면 | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | && | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 전체 해는 다음처럼 쓸 수 있다: | ||
+ | $$y(x) = \int_0^x dx' ~~\mathcal{T} \exp \left[ - \int_{x' |