미분방정식 $L\left[ \Psi(x) \right] = g(x)$가 있을 때, 적절한 기저함수의 집합 $\{u_n(x)\}$와 계수의 집합 $\{a_n\}$을 써서 $\Phi(x) \approx \sum_{n=1}^N a_n u_n(x)$로 근사하자. 적절한 가중치 함수 $\{w_m(x)\}$에 대해 내적을 취한 결과들이 일치되게끔 하여 계수 $\{a_n\}$을 찾을 수 있다. 즉 다음과 같은 내적이 있을 때 \begin{eqnarray*} \left< w_m(x), L\left[ \sum_{n=1}^N a_n u_n(x) \right] \right> &=& a_1 \left< w_m(x), L\left[ u_1(x) \right] \right> + a_2 \left< w_m(x), L\left[ u_2(x) \right] \right> + \ldots + a_N \left< w_m(x), L\left[ u_N(x) \right] \right>\\ &=& \left< w_m(x), g(x) \right>, \end{eqnarray*} 이를 행렬 형태로 나타내면 $$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1N}\\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2N}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{N1} & A_{N2} & \ldots & A_{NN}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left< w_1(x), g(x) \right>\\ \left< w_2(x), g(x) \right>\\ \vdots\\ \left< w_N(x), g(x) \right> \end{pmatrix} $$ 이고, 이때 $A_{mn} \equiv \left< w_m(x), L\left[ u_n(x) \right] \right>$이다. 이 선형방정식을 풀면 계수 $\{a_n\}$을 얻는다.

$0<x<1$에서 정의된 다음과 같은 미분방정식을 생각하자: $$\frac{d^2U}{dx^2} = -x^2.$$ 경계조건은 $U(0)=U(1)=0$이다.

기저 함수를 $u_n(x) = x-x^{n+1}$로 설정하자 ($n=1,2,\ldots,N$). 경계조건은 자동으로 만족된다. $N=2$까지만을 사용하면 $$U(x) \approx a_1 u_1(x) + a_2 u_2(x)= a_1(x-x^2) + a_2(x-x^3)$$ 이고, 편의상 가중치 함수를 $w_m(x) = u_m(x)$로 기저 함수와 동일하게 놓자.

\begin{eqnarray*} A_{11} &=& \left< w_1(x), L\left[u_1(x)\right] \right>\\ &=& \left< \left(x-x^2\right), \frac{d^2}{dx^2} \left(x-x^2\right) \right>\\ &=& \left< \left(x-x^2\right), -2 \right>\\ &=& \int_0^1 \left(x-x^2\right)(-2)dx = -\frac{1}{3} \end{eqnarray*} 이고 마찬가지로 계산하면 $$\begin{pmatrix} -1/3 & -1/2\\ -1/2 & -4/5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/20\\ -1/12 \end{pmatrix} $$ 로서, 이를 풀면 $a_1 = -1/10$과 $a_2 = 1/6$을 얻는다. 따라서 $$U(x) \approx -\frac{1}{10}\left(x-x^2\right) + \frac{1}{6} \left(x-x^3\right)$$ 이다. 정확한 해 $U(x) = \frac{1}{12}\left(x-x^4\right)$와 비교해보라.

삼각함수를 기저함수로 사용해서 $U(x) \approx a_1 \sin\pi x + a_2 \sin 2\pi x$로 계산을 반복해보는 것도 좋은 연습이다. 답은 $a_1 = (2\pi^2-8)/\pi^5$과 $a_2 = 1/(4\pi^3)$.

앞의 예를 그린 함수와 연결지어 생각해볼 수도 있다. 아래와 같은 미분방정식을 먼저 생각해보자. $$\frac{d^2}{dx^2} g(x;x')= \delta\left(x-x'\right)$$ 그리고 해를 $g\left(x,x'\right) \approx a_1\left(x'\right) \sin\pi x + a_2\left(x'\right) \sin 2\pi x$로 가정하자. 이 가정된 해를 대입하고 $\sin\pi x$를 양변에 곱해 적분하면 $$-\frac{1}{2}\pi^2 a_1\left(x'\right) = \int_0^1 \delta\left(x-x'\right) \sin\pi x dx = \sin \pi x'$$ 이고 $\sin 2\pi x$를 곱해 적분하면 $$-\frac{1}{2}4\pi^2 a_2\left(x'\right) = \int_0^1 \delta\left(x-x'\right) \sin 2\pi x dx = \sin 2\pi x'$$ 로서, $a_1$과 $a_2$를 바로 구할 수 있다. 삼각함수의 직교성인 다음 성질이 사용되었다: $$\int_0^L \sin\frac{m\pi x}{L} \sin\frac{n \pi x}{L} = \frac{L}{2} \delta_{mn}.$$ 따라서 답은 $$g\left(x;x'\right) = -\frac{2}{\pi^2} \sin\pi x \sin \pi x' - \frac{1}{2\pi^2} \sin 2\pi x \sin 2\pi x'$$ 이며, 이를 통해 원래의 식을 풀어보면 $$U(x) = \int_0^1 \left[ -\left(x'\right)^2 \right] g\left(x;x'\right)dx' = -\frac{16-4\pi^2+\pi^2\cos\pi x}{2\pi^5} \sin\pi x$$ 로서 모멘트 방법을 써서 구한 결과와 일치한다.

2차원의 면 $[0,a]\times[0,b]$에서 정의된 2차원 미분방정식 $\nabla^2 V = f$를 생각하자. 경계조건은 $V(0,y)=V(a,y)=V(x,0)=V(x,b)=0$이다. 그린 함수 $G$는 $\nabla^2 G = \delta^{(2)} \left(\vec{r} - \vec{r}'\right)$을 만족한다.

기저함수가 $\nabla^2 \Psi = \lambda \Psi$를 만족한다고 가정하면 $$\Psi_{mn} = \frac{2}{\sqrt{ab}} \sin\frac{m\pi x}{a} \sin\frac{n\pi y}{b}$$ 이고 고윳값은 $$\lambda_{mn} = - \left( \frac{m^2 \pi^2}{a^2} + \frac{n^2 \pi^2}{b^2} \right)$$ 이다. 그린 함수를 이 기저로 전개하여 쓰면 $$G\left( x,y;x',y' \right) = \frac{2}{\sqrt{ab}} \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty A_{mn}\left(x',y'\right) \sin\frac{m\pi x}{a} \sin\frac{n\pi y}{b}$$ 이고, 기저함수를 곱하여 적분하면 직교성의 결과로 다음을 얻는다: \begin{eqnarray*} \int_0^b \int_0^a \sin\frac{m'\pi x}{a} \sin\frac{n'\pi y}{b} \nabla^2 G dx dy &=& \int_0^b \int_0^a \sin\frac{m'\pi x}{a} \sin\frac{n'\pi y}{b} \delta^{(2)} \left(\vec{r} - \vec{r}'\right) dx dy\\ \frac{2}{\sqrt{ab}} \frac{a}{2} \frac{b}{2} A_{m'n'}\left(x',y'\right) \lambda_{m'n'} &=& \sin\frac{m'\pi x'}{a} \sin\frac{n'\pi y'}{b}\\ A_{mn}\left(x', y'\right) &=& \frac{2}{\sqrt{ab}} \frac{1}{\lambda_{mn}} \sin\frac{m\pi x'}{a} \sin\frac{n\pi y'}{b} \end{eqnarray*} 따라서 그린 함수는 $$G\left( x,y;x',y' \right) = -\frac{4}{ab} \sum_{m,n} \frac{\sin\frac{m\pi x}{a} \sin\frac{n\pi y}{b} \sin\frac{m\pi x'}{a} \sin\frac{n\pi y'}{b}}{m^2 \pi^2 / a^2 + n^2 \pi^2 / b^2}$$ 이고, 원래 방정식의 해는 다음과 같다: $$V(x,y) = \int_0^b \int_0^a f\left(x',y'\right) G\left(x,y; x',y'\right) dx' dy'.$$

• Matthew N.O. Sadiku, Computational Electromagnetics with MATLAB, (CRC Press, Boca Raton, FL, 2019).