개요

미분방정식 $L\left[ \Psi(x) \right] = g(x)$가 있을 때, 적절한 기저함수의 집합 $\{u_n(x)\}$와 계수의 집합 $\{a_n\}$을 써서 $\Phi(x) \approx \sum_{n=1}^N a_n u_n(x)$로 근사하자. 적절한 가중치 함수 $\{w_m(x)\}$에 대해 내적을 취한 결과들이 일치되게끔 하여 계수 $\{a_n\}$을 찾을 수 있다. 즉 다음과 같은 내적이 있을 때 \begin{eqnarray*} \left< w_m(x), L\left[ \sum_{n=1}^N a_n u_n(x) \right] \right> &=& a_1 \left< w_m(x), L\left[ u_1(x) \right] \right> + a_2 \left< w_m(x), L\left[ u_2(x) \right] \right> + \ldots + a_N \left< w_m(x), L\left[ u_N(x) \right] \right>\\ &=& \left< w_m(x), g(x) \right>, \end{eqnarray*} 이를 행렬 형태로 나타내면 $$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1N}\\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2N}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{N1} & A_{N2} & \ldots & A_{NN}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left< w_1(x), g(x) \right>\\ \left< w_2(x), g(x) \right>\\ \vdots\\ \left< w_N(x), g(x) \right> \end{pmatrix} $$ 이고, 이때 $A_{mn} \equiv \left< w_m(x), L\left[ u_n(x) \right] \right>$이다.