라플라스 방정식 혹은 푸아송 방정식과 같은 편미분방정식을 풀기 위해 전체 공간을 작은 요소들로 쪼개고 각각의 요소 안에서는 선형적으로 해가 변화한다고 가정한 후 전체적으로 변분법을 적용하여 해를 찾는 방법.

그림과 같은 기본 삼각형을 생각하자. 이 안에서는 해가 $V^{(e)}(x,y) = a + bx +cy$처럼 선형적으로 변화한다고 가정한다. 세 꼭지점에서의 값 $V_1^{(e)}$, $V_2^{(e)}$, $V_3^{(e)}$가 주어져 있다면 계수 $a$, $b$, $c$를 다음처럼 찾을 수 있다. $$\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x_1 & y_1\\ 1 & x_2 & y_2\\ 1 & x_3 & y_3 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} V_1^{(e)}\\ V_2^{(e)}\\ V_3^{(e)} \end{pmatrix}. $$ 따라서 삼각형 요소 내부의 한 점 $(x,y)$에서는 다음처럼 기술되며 $$V^{(e)}(x,y) = \begin{pmatrix} 1 & x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x_1 & y_1\\ 1 & x_2 & y_2\\ 1 & x_3 & y_3 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} V_1^{(e)}\\ V_2^{(e)}\\ V_3^{(e)} \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^3 V_i^{(e)} \alpha_i (x,y), $$ $\alpha_i(x,y)$의 구체적인 형태는 다음과 같다. \begin{eqnarray*} \alpha_1 (x,y) &=& \frac{1}{2A} \left[ (x_2 y_3 - x_3 y_2) + (y_2 - y_3)x + (x_3-x_2) y \right]\\ \alpha_2 (x,y) &=& \frac{1}{2A} \left[ (x_3 y_1 - x_1 y_3) + (y_3 - y_1)x + (x_1-x_3) y \right]\\ \alpha_3 (x,y) &=& \frac{1}{2A} \left[ (x_1 y_2 - x_2 y_1) + (y_1 - y_2)x + (x_2-x_1) y \right]. \end{eqnarray*} 이때 분모의 $A$는 삼각형 요소의 면적으로서 다음의 식에 의해 표현된다. $$2A = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & 0\\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & 0 \end{vmatrix} = (x_2-x_1)(y_3-y_1) - (x_3-x_1)(y_2-y_1). $$

변분법

• https://ocw.mit.edu/courses/16-920j-numerical-methods-for-partial-differential-equations-sma-5212-spring-2003/
• Matthew N.O. Sadiku, Computational Electromagnetics with MATLAB (CRC Press, 2019).