함수의 평균값 정의와 난수를 이용한 수치적분법

어떤 함수 $f(x)$의 구간 $a,~b$ 사이의 적분을 나타내는 식은 다음과 같다.

$$ I = \int_a^bf(x)dx $$

이것을 수치적 방법으로 구하기 위해 함수의 평균값 정의식을 이용할 수 있다. 함수의 평균값 정의식은

$$ \langle f\rangle = \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx = \frac{I}{b-a} $$

이다. 그러므로

$$ I = (b-a)\langle f\rangle $$

이 되어 $\langle f\rangle$을 구한다면 적분값 $I$를 구할 수 있다. 이 단계에서 난수를 이용하여 $\langle f\rangle$을 수치적으로 쉽게 계산할 수 있다. $\langle f\rangle$을 적분 구간 $a,~b$ 사이에서 $N$개의 난수 $x_1,\ldots,x_N$를 균등한 분포로 뽑아 $\langle f\rangle \approx N^{-1}\sum_{i=1}^Nf(x_i)$를 계산하면

$$ I \approx \frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^{N}f(x_i) $$

를 계산할 수 있어 함수의 적분값을 구할 수 있다.

몬테 카를로 적분법

• M. E. J. Newman, Computational Physics (Createspace Independent Pub, 2012).