$\mathbb{H}$가 $M\times N$ 행렬로서 각각의 원소는 0 또는 1이라고 하자. $\underline{b}$는 0 또는 1을 원소로 가지는 $M$차원 벡터이다. $\mathbb{H} \underline{x} = \underline{b} \bmod 2$를 풀었을 때 $N$차원 벡터인 해 $\underline{x}$의 존재 여부, 혹은 해의 개수에 관심이 있다. $\mathbb{H}$의 각 행이 정확히 $k$개의 1을 포함하면 $k$-XORSAT이라고 불린다.

아래의 XORSAT은 충족 가능하다. \begin{eqnarray*} x_1 \oplus x_2 \oplus x_4 &=& 0\\ x_2 \oplus x_4 \oplus x_3 &=& 0\\ x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 &=& 0. \end{eqnarray*} 이때 $M=3$, $N=4$로서 \[ \mathbb{H} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] 이고 $\underline{b} = (0,0,0)^\intercal$이다. 가우스 소거법을 사용하면 아래 식으로 바꾸어 쓸 수 있다: \[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \] 대각선의 오른편에 있는 변수인 $x_4$의 값은 임의로 1로 지정하자. 그러면 $x_1=1$, $x_2=0$, 그리고 $x_3=1$로 결정되어 자명하지 않은 해를 하나 얻을 수 있다.

이처럼 가우스 소거법으로 풀 수 있으므로 다항 시간 문제(P)에 속한다.

• https://en.wikipedia.org/wiki/XOR-SAT
• M. Mézard and A. Montanari, Information, Physics, and Computation (2009, Oxford University Press).