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--- 전산물리학:몬테_카를로_적분법 [2017/10/05 19:35] – minjae
+++ 전산물리학:몬테_카를로_적분법 [2017/10/10 14:36] – [오차] minjae
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 ======개요======
-난수를 이용한 함수의 적분법.
+난수를 이용한 함수의 적분법이다.
 ======몬테 카를로 적분법======
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 $$ I = \int_0^2\sin^2\left[\frac{1}{x(2-x)}\right]dx $$
-{{::montecarlointegration.png|}}
+{{ ::montecarlointegration.png |}}
 적분할 함수의 개형을 보면 양 끝 점으로 갈수록 무한히 가파르게 변하는 모습을 볼 수 있다. 반면, 함수의 그래프가 2$\times$1인 사각형 안에 알맞게 들어오기 때문에 적분값이 유한하고 그 값이 2보다 작다는 것을 알 수 있다. 수치적분을 할 때 사다리꼴 적분법이나 가우스 구적법을 많이 사용하지만 이러한 방법들은 위와 같이 가파르게 변하는 함수의 적분값을 적절하게 구해주지 못한다. 이러한 경우에 다른 여러 방법들 중에서 많이 사용하는 방법 중 하나가 몬테 카를로 적분법이다.
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 ====== 오차 ======
-무작위로 뽑은 점 하나가 함수값 보다 작을 확률이 $ p = I/A $이므로 함수값 보다 높은 값을 가질 확률은 $ 1-p $이다. 만약 무작위 수를 뽑는 횟수가 $N$ 번이고 이 중 함수값보다 작은 값을 가지는 수가 $k$개가 뽑일 확률은
+무작위로 뽑은 점 하나가 함수값 보다 작을 확률이 $ p = I/A $이므로 함수값 보다 크거나 같은 값을 가질 확률은 $ 1-p $이다. 만약 무작위 수를 뽑는 횟수가 $N$ 번이고 이 중 함수값보다 작은 값을 가지는 수가 $k$개가 뽑일 확률은
 $$ P(k) = \binom{N}{k}p^k(1-p)^{N-k} $$
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 임을 알 수 있다. 그러므로 표준편차를 아래와 같이 얻을 수 있다.
-$$ \sigma = \sqrt{\text{var}~k}\frac{A}{N} = \frac{\sqrt{I(A-I)}}{\sqrt{N}} $$
+$$ \sigma_N = \sqrt{\text{var}~k}\frac{A}{N} = \frac{\sqrt{I(A-I)}}{\sqrt{N}} $$
-따라서 무작위 수를 $N$ 번 얻어 몬테 카를로 적분법을 사용하면 정확한 적분값과 비교하여 $1/\sqrt{N}$에 비례하는 오차를 가지는 것을 알 수 있다.
+따라서 무작위 수를 $N$ 번 얻어 몬테 카를로 적분법을 사용하면 난수를 이용하여 구한 적분의 기댓값과 비교하여 $1/\sqrt{N}$에 비례하는 오차를 가지는 것을 알 수 있다.
-$$ \sigma \sim \frac{1}{\sqrt{N}} $$
+$$ \sigma_N \sim \frac{1}{\sqrt{N}} $$
+======함께 보기======
+[[:전산물리학:평균값 방법]]
+======참고문헌======
+  - M. E. J. Newman, //Computational Physics// (Createspace Independent Pub, 2012).