다중극 전개는 여러개의 전하가 특정 지점까지의 만들어내는 전위를 전개식으로 나타내는 것이다. 홀극, 쌍극자, 사중극자, 팔중극자… 등이 특정 지점에 만드는 전위를 생각해볼 수 있다.

전하가 분포하고 있는 원천에서 $\mathbf{r'}$지점에 미소부피 $d\tau'$가 있다고 하면 전위를 다음과 같이 쓸 수 있다.

\begin{align} V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}d\tau' \end{align}

이 때 $|\vec{r}-\vec{r}'|$는 코사인 법칙을 이용하고, $r'<<r$을 가정하여,

\begin{align} |\vec{r}-\vec{r}'|^2 &= r^2 + r'^2 - 2rr'\cos\alpha \\ &= r^2(1+(\frac{r'}{r})^2-2(\frac{r'}{r})\cos\alpha) \\ |\vec{r}-\vec{r}'|^{-1} &= \frac{1}{r}(1+(\frac{r'}{r})^2-2(\frac{r'}{r})\cos\alpha)^{-1/2} \end{align}

따라서 전위는

\begin{align} V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\vec{r}')}{r}\left[1+(\frac{r'}{r})^2-2(\frac{r'}{r})\cos\alpha\right]^{-1/2}d\tau' \end{align}

으로 바뀌게 된다. 이 때 대괄호항은 르장드르 함수의 생성함수

\begin{align} (1-2hx+h^2)^{-1/2} = \sum_{l=0}^{\infty}h^lP_l(x) \quad (|h|<1) \end{align}

이므로 전위식에 대응하면 다중극 전개의 일반적인 형태가 만들어진다.

\begin{align} V(\vec{r}) &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\vec{r'})}{r}\sum_{l=0}^{\infty}(\frac{r'}{r})^lP_l(\cos\alpha)d\tau' \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{r^{l+1}}\int({r'})^lP_l(\cos\alpha){\rho(\vec{r'})}d\tau' \end{align}

여기서 르장드르 다항식의 값에 따라, $l=0$에서 홀극, $l=1$에서 쌍극의 전위식이 나타난다.

\begin{align} V_{mono}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r} \qquad V_{dip}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\int{r'}\cos\alpha\rho(\vec{r'})d\tau' \end{align}

구면 좌표계의 모든 성분을 고려한 다중극 전개는 조금 복잡하다. 구면 좌표계에서 아래의 그림과 같이 $\vec{r'}=(r',\theta',\phi')$, $\vec{r}=(r,\theta,\phi)$가 있다고 하자.

앞의 $|\vec{r}-\vec{r}'|$으로 사이의 각도를 고려하듯이, 여기서도 $\vec{r'}$과 $\vec{r}$ 사이의 각도를 구해보도록 하자. 먼저, $\vec{r'}$과 $\vec{r}$의 사잇각 $\alpha$의 코사인 값은

\begin{align} \cos\alpha = \hat{r}\cdot\hat{r}' \end{align}

이고, $\hat{r}$과 $\hat{r}'$은 구면 좌표계에서 직교 좌표계로의 표현으로,

\begin{align} \hat{r} = \left(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta\right) \\ \hat{r}' = \left(\sin\theta'\cos\phi',\sin\theta'\sin\theta',\cos\theta'\right) \end{align}

이므로 두 단위벡터의 내적은,

\begin{align} \hat{r}\cdot\hat{r}' &= \cos\alpha \\ &= \sin\theta\sin\theta'(\cos\phi\cos\phi' + \sin\phi\sin\phi') + \cos\theta\cos\theta' \\ &= \sin\theta\sin\theta'\cos(\phi-\phi') + \cos\theta\cos\theta' \end{align}

구면 조화 함수는 $\theta, \phi$방향을 고려한 함수이다.

\begin{align} Y_l^m(\theta,\phi) = (-1)^m\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_l^m(\cos\theta)e^{im\phi} \end{align}

여기서 l과 m의 범위는

\begin{align} l=0,1,2,\cdots \qquad -l{\leq}m{\leq}l \end{align}

푸리에 급수의 성질과 같이, 구면 조화 함수도 직교성이 있다. 직교성을 이용하면 르장드르 다항식 앞에 붙는 계수들을 결정할 수 있다.

\begin{align} \iint{Y_l^m(\theta,\phi)}{Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi)}\sin\theta{d\theta}{d\phi} = \delta_{ll'}\delta_{mm'} \end{align}

여기서 나중의 계산을 위하여 입체각(Solid Angle)로 바꾸기로 한다. 즉,

\begin{align} d\Omega = \sin\theta{d\theta}{d\phi} \end{align}