고정된 모양과 크기를 가지는 물체의 정전기적 에너지는 그것의 전하 $Q$가 재배치되어 물체 어느 곳에서나 전위를 같게 만들었을 때에 최소화된다. 전기장은 전위의 기울기에 비례하므로 이는 완벽한 도체 내부에서 정전기장이 사라짐을 의미한다.

전하계의 정전기적 에너지는 $U = \frac{1}{2}\sum_i q_i V(\vec{r}_i)$이다. 모든 전하들을 제자리에 붙잡아둔 상태에서 시작하여, 하나하나 전기력 방향으로 조금씩 움직이게 한다면 이 에너지의 변화량은 \begin{eqnarray*} \Delta U &=& \frac{1}{2} \sum_i q_i \nabla_i V(\vec{r}_i) \cdot \Delta \vec{r}_i\\ &=& - \frac{1}{2} \sum_i q_i \vec{E}(\vec{r}_i) \cdot \Delta \vec{r}_i \le 0. \end{eqnarray*} 이로부터 에너지가 낮아지는 방향으로 전하가 재배치되리라고 예상할 수 있다. 그런데 전하량 $Q$가 공 내부에 고르게 대전되었을 때와 표면만 대전되었을 때를 비교해보자. 가우스 법칙으로 인해 공 외부의 전기장은 두 경우에서 정확히 같고 따라서 그 부분의 에너지 기여는 두 경우에 같다. 이제 내부를 비교해보면, 전기장의 에너지 밀도가 $u_E = \frac{\epsilon_0}{2} E^2$이므로 내부 전기장이 아예 존재하지 않는 (shell theorem), 표면만 대전된 경우의 총 에너지가 더 낮다.

부피 $V$인 물체에 전하 밀도 $\rho(\vec{r})$로 전하들이 배치되어 있다. 외부의 전하로 인해 형성된 전위를 $V_\text{ext}(\vec{r})$라고 하자. 전체 정전기적 에너지는 $\rho$에 대한 범함수 꼴로 주어진다. \begin{equation} U[\rho] = \frac{1}{8\pi \epsilon_0} \int_V d^3 r \int_V d^3 r' \frac{\rho(\vec{r}) \rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} + \int_V d^3 r \rho(\vec{r}) V_\text{ext} (\vec{r}). \end{equation} 구속조건은 전체 전하량 $Q = \int_V d^3 r \rho(\vec{r})$이 일정하다는 것이므로 라그랑주 곱수법을 사용하면 목적함수는 다음과 같다: \begin{equation} I[\rho] = U[\rho] - \lambda Q. \end{equation} 이를 $\rho$에 대해 변분하면 \begin{equation*} \frac{\delta I}{\delta \rho (\vec{r})} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int_V d^3 r' \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|} + V_\text{ext}(\vec{r}) - \lambda = 0 \end{equation*} 이고, 이때 $U$의 적분식 안에 있는 $\vec{r}$과 $\vec{r}'$ 사이의 대칭성을 사용했다. 여기에서 우변의 첫 항은 내부 전하 $\rho$로 인해 생기는 전위 $V_\text{int}$이므로 결국 총 전위가 $V_\text{int} + V_\text{ext} \equiv V_\text{tot} = \lambda$로 일정함을 의미한다.

범함수

• Andrew Zangwill, Modern Electrodynamics (Oxford University Press, 2013).