개요

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어떤 성씨를 가진 남성이 $i$ 명의 자식을 가질 확률 $p_{i}$ 를 도입하여 성씨의 소멸에 대한 연구로 출발하였다.

성씨를 구성하는 개인의 수가 다음과 같은 규칙을 따른다고 가정하자.

모든 세대 $n = 0, 1, 2,...$ 에서 각 개인이 자식을 가질 수는 무작위적이며 개인들 사이에서는 독립적이다.
자식을 낳을 확률 질량 함수를 자식 분포라고 부르며 다음과 같이 나타낼 수 있다. $p_{i} =$ $P$ (자식의 수 $= i$ ), $i$ $=$ $0, 1, 2, ...$
단순한 경우를 제외하기 위해 $p_{0} < 1, p_{1} < 1$ 이라고 가정하자. 한 명으로 구성된 시작 세대를 $0$ 세대라고 하고 성씨의 가지치기 과정을 진행했을 때, 이 과정이 유한한 경우를 성씨의 '소멸'이라 하고 무한한 경우 '생존'이라 부른다.

위와 같은 가정을 도입하고 $n$ 세대에서의 인구수를 $X_{n}$ 으로 나타낸다면 가지치기 과정은 마르코프 연쇄로 볼 수 있으며 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

$X_n = 0$ 인 경우, $n$ 세대에 계속 머무르게 되어 $0$ 은 흡수상태이다.

자식 분포의 모멘트 생성함수를 $\phi$ 라고 하자. 편리함을 위해 모멘트 생성함수 정의식에서의 $e^t$ 를 $s$ 로 바꿔 표현하면 $\begin{eqnarray} $\phi(s) = \phi_{X_{1}}(s)=E(s^{X_1}) = \sum_{k=0}^{\infty}p_{k}s^k$ \end{eqnarray}$ 가 된다. 이 식은 수열 $p_{k}$ 의 생성함수 표현과 정확히 일치한다.

자식의 수가 푸아송 분포를 따르는 경우 $p_{k}=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}$ 가 되고 이것을 식 (1)에 대입하여 풀어보면

$\begin{eqnarray*} \phi(s) &=& \sum_{k} p_{k}s^{k}\\ &=& \sum_{k} \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} s^{k} \\ &=& e^{\lambda s}e^{-\lambda} \\ &=& e^{\lambda(s-1)} \end{eqnarray*}$