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--- 진화생물학:가지치기_과정 [2016/07/20 17:52] – [푸아송 분포] minjae
+++ 진화생물학:가지치기_과정 [2016/07/20 21:03] – [푸아송 분포] minjae
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 ======생성함수로의 표현======
-자식 분포의 모멘트 생성함수를 $\phi$라고 하자. 편리함을 위해 모멘트 생성함수 정의식에서의 $e^t$를 $s$로 바꿔 표현하면
+자식 분포의 [[수학:모멘트 생성함수]]를 $\phi$라고 하자. 편리함을 위해 모멘트 생성함수 정의식에서의 $e^t$를 $s$로 바꿔 표현하면
 \begin{eqnarray}
-$\phi(s) = \phi_{X_{1}}(s)=E(s^{X_1}) = \sum_{k=0}^{\infty}p_{k}s^k$
+\phi(s) = \phi_{X_{1}}(s) = E(s^{X_1}) = \sum_{k=0}^{\infty} p_{k} s^k
 \end{eqnarray}
-가 된다. 이 식은 수열 $p_{k}$의 생성함수 표현과 정확히 일치한다.
+가 된다. 이 식은 수열 $p_{k}$의 생성함수 표현과 정확히 일치한다. $X_{n}$의 모멘트 생성함수는 \\
+\begin{eqnarray*}
+\phi_{X_{n}} = E[s^{X_{n}}] = \sum_{k=0}^{\infty} P(X_{n} = k) s^{k}
+\end{eqnarray*}
+로 나타낼 수 있다.
+조건부 기댓값의 계산법을 이용하여 계산해보면
+\begin{eqnarray*}
+\phi_{X_{n}} &=& E[s^{X_{n}}] \\
+&=& \sum_{k=0}^{\infty} E[s^{X_{n}} | X_{n-1} = k] P(X_{n-1} = k) \\
+&=& \sum_{k=0}^{\infty} E[s^{W_{1}+W_{2}+...+W_{k}] P(X_{n-1} = k)\\
+&=& \sum_{k=0}^{\infty} E(s^{W_{1}} E(s^{W_{1}}) \ldots E(s^{W_{k}}) P(X_{n-1} = k)\\
+&=& \sum_{k=0}^{\infty} \phi(s)^{k} P(X_{n-1} = k) \\
+&=& \phi_{X_{n-1}}(\phi(s))
+\end{eqnarray*}
+가 되어 재귀함수의 형태를 얻을 수 있다.
 =====푸아송 분포=====
-자식의 수가 푸아송 분포를 따르는 경우 $p_{k}=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}$가 되고 이것을 식 (1)에 대입하여 풀어보면
+자식의 수가 [[수학:푸아송 분포]]를 따르는 경우 $p_{k}=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}$가 되고 이것을 식 (1)에 대입하여 풀어보면
 \begin{eqnarray*}