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진화생물학:가지치기_과정 [2016/07/20 15:03] – minjae | 진화생물학:가지치기_과정 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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======개요====== | ======개요====== | ||
- | 어떤 성씨를 가진 남성이 $i$명의 | + | 어떤 성씨를 가진 남성이 $i$명의 |
+ | ======규칙====== | ||
+ | 성씨를 구성하는 개인의 수가 다음과 같은 규칙을 따른다고 가정하자. | ||
+ | |||
+ | * 모든 세대 $n = 0, 1, 2, | ||
+ | * 자식을 낳을 확률 질량 함수를 자식 분포라고 부르며 다음과 같이 나타낼 수 있다. $p_{i} = $ $P$(자식의 수 $= i$), $i$ $=$ $0, 1, 2, ...$ \\ | ||
+ | * 단순한 경우를 제외하기 위해 $p_{0} < 1, p_{1} < 1$이라고 가정하자. 한 명으로 구성된 시작 세대를 $0$세대라고 하고 성씨의 가지치기 과정을 진행했을 때, 이 과정이 유한한 경우를 성씨의 ' | ||
+ | |||
+ | 위와 같은 가정을 도입하고 $n$세대에서의 인구수를 $X_{n}$으로 나타낸다면 가지치기 과정은 마르코프 연쇄로 볼 수 있으며 다음과 같은 사실을 알 수 있다. | ||
+ | |||
+ | * $X_n = 0$인 경우, $n$세대에 계속 머무르게 되어 $0$은 흡수상태이다. | ||
+ | |||
+ | ======생성함수로의 표현====== | ||
+ | 자식 분포의 [[수학: | ||
+ | |||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \phi(s) = \phi_{X_{1}}(s) = E(s^{X_1}) = \sum_{k=0}^{\infty} p_{k} s^k | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 가 된다. 이 식은 수열 $p_{k}$의 생성함수 표현과 정확히 일치한다. $X_{n}$의 모멘트 생성함수는 \\ | ||
+ | |||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \phi_{X_{n}} = E[s^{X_{n}}] = \sum_{k=0}^{\infty} P(X_{n} = k) s^{k} | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | 로 나타낼 수 있다. | ||
+ | |||
+ | 조건부 기댓값의 계산법을 이용하여 계산해보면 | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \phi_{X_{n}} &=& E[s^{X_{n}}] \\ | ||
+ | &=& \sum_{k=0}^{\infty} E[s^{X_{n}} | X_{n-1} = k] P(X_{n-1} = k) \\ | ||
+ | &=& \sum_{k=0}^{\infty} E[s^{W_{1}+W_{2}+...+W_{k}}] P(X_{n-1} = k)\\ | ||
+ | &=& \sum_{k=0}^{\infty} E(s^{W_{1}}) E(s^{W_{1}}) \ldots E(s^{W_{k}}) P(X_{n-1} = k)\\ | ||
+ | &=& \sum_{k=0}^{\infty} \phi(s)^{k} P(X_{n-1} = k) \\ | ||
+ | &=& \phi_{X_{n-1}}(\phi(s)) | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | 가 되어 재귀함수의 형태를 얻을 수 있다. | ||
+ | =====푸아송 분포===== | ||
+ | 자식의 수가 [[수학: | ||
+ | |||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \phi(s) &=& \sum_{k} p_{k}s^{k}\\ | ||
+ | &=& \sum_{k} \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} s^{k} \\ | ||
+ | &=& e^{\lambda s}e^{-\lambda} \\ | ||
+ | &=& e^{\lambda(s-1)} | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | 여기서 $\lambda$는 자식 수의 평균을 의미한다. | ||
======참고 문헌====== | ======참고 문헌====== | ||
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