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진화생물학:가지치기_과정 [2016/07/20 17:25] – minjae | 진화생물학:가지치기_과정 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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======생성함수로의 표현====== | ======생성함수로의 표현====== | ||
- | 자식 분포의 모멘트 생성함수를 $\phi$라고 하자. 편리함을 위해 모멘트 생성함수 정의식에서의 $e^t$를 $s$로 바꿔 표현하면 | + | 자식 분포의 |
\begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
- | $\phi(s) = \phi_{X_{1}}(s)=E(s^{X_1}) = \sum_{k=0}^{\infty}p_{k}s^k$ | + | \phi(s) = \phi_{X_{1}}(s) = E(s^{X_1}) = \sum_{k=0}^{\infty} p_{k} s^k |
\end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
- | 가 된다. 이 식은 수열 $p_{k}$의 생성함수 표현과 정확히 일치한다. | + | 가 된다. 이 식은 수열 $p_{k}$의 생성함수 표현과 정확히 일치한다. |
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \phi_{X_{n}} = E[s^{X_{n}}] = \sum_{k=0}^{\infty} P(X_{n} = k) s^{k} | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | 로 나타낼 수 있다. | ||
+ | |||
+ | 조건부 기댓값의 계산법을 이용하여 계산해보면 | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \phi_{X_{n}} &=& E[s^{X_{n}}] \\ | ||
+ | &=& \sum_{k=0}^{\infty} E[s^{X_{n}} | X_{n-1} = k] P(X_{n-1} = k) \\ | ||
+ | &=& \sum_{k=0}^{\infty} E[s^{W_{1}+W_{2}+...+W_{k}}] P(X_{n-1} = k)\\ | ||
+ | &=& \sum_{k=0}^{\infty} E(s^{W_{1}}) E(s^{W_{1}}) \ldots E(s^{W_{k}}) P(X_{n-1} = k)\\ | ||
+ | &=& \sum_{k=0}^{\infty} \phi(s)^{k} P(X_{n-1} = k) \\ | ||
+ | &=& \phi_{X_{n-1}}(\phi(s)) | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | 가 되어 재귀함수의 형태를 얻을 수 있다. | ||
=====푸아송 분포===== | =====푸아송 분포===== | ||
- | 자식의 수가 푸아송 분포를 따르는 경우 $p_{k}=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}$가 되고 이것을 식 (1)에 대입하여 풀어보면 | + | 자식의 수가 |
- | \begin{eqnarray} | + | \begin{eqnarray*} |
\phi(s) &=& \sum_{k} p_{k}s^{k}\\ | \phi(s) &=& \sum_{k} p_{k}s^{k}\\ | ||
- | &=& \sum_{k} \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} \\ | + | &=& \sum_{k} \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} s^{k} \\ |
&=& e^{\lambda s}e^{-\lambda} \\ | &=& e^{\lambda s}e^{-\lambda} \\ | ||
&=& e^{\lambda(s-1)} | &=& e^{\lambda(s-1)} | ||
- | \end{eqnarray} | + | \end{eqnarray*} |
- | 여기서 \lambda는 자식 수의 평균을 의미한다. | + | 여기서 |
======참고 문헌====== | ======참고 문헌====== | ||
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