Keller - Segel 방정식은 아래와 같은 식 두개로 이루어져 있다.

\begin{equation*} \frac{\partial \rho(x,t)}{\partial t} = -\chi_0 \nabla (\rho (x,t) \nabla c(x,t) ) + \mu_0 \nabla^2 \rho(x,t) \quad \cdots (eqn.1) \end{equation*}

\begin{equation*} \frac{\partial{c(x,t)}}{\partial{t}} = f_0 \rho(x,t) + \nu_0 \nabla^2 c(x,t) - g_0 c(x,t) \quad \cdots (eqn.2) \end{equation*}

식 1은 유기체 밀도에 대한 확산을 나타내고 식 2는 유기체가 밀도에 비례하여 만드는 화학물질 밀도의 확산을 나타낸다.

식 1에서 유기체는 자신이 내놓은 화학물질의 농도에 영향을 받아 자유확산이 억제된다.

유기체 밀도를 전체 공간에 대해 적분하면 보존량 $M$을 얻게되는데 이것을 유기체 하나가 지니는 질량이라고 생각할 수 있을 것이다.

$$\int_{R^{2}}\rho(x) dx = M_{tot} \quad \cdots (eqn.3) $$

식 2에서 시간에 대한 화학물질 변화를 0으로 두고 증발률이 매우 적다고 두면 식 2를 아래와 같이 고칠수 있다.

$$ 0 = \nu_0 \nabla^{2}c(x) + f_0 \rho $$

이렇게 고친 식은 푸아송 방정식의 해를 취할 수 있는데 이 때 2차원에서 화학물질 농도 $c(x,t)$의 해를 뉴턴 퍼텐셜 해를 가지는 것으로 쓸 수 있다.

$$c[\rho(x)] = -\frac{1}{2\pi} \int_{R^{2}}\ln|x - y|)\rho(y)dy\quad \cdots (eqn.4)$$

만약 유기체가 많이 모인 덩어리가 하나 생긴다면 그 덩어리는 주변에 $M/r$에 비례하는 퍼텐셜 힘을 작용하면서 주변에 있는 유기체를 끌어들이는 모양이 된다.

이때 어떤 임계 질량이란 것이 있어서 다음과 같은 세가지 상황이 생기게 된다.

1. 만약 $M < M_c = 8\pi \frac{\mu_0 \nu_0}{f_0 \chi_0}$ 이면 시간에 관계없이 유기체가 공간상에 고르게 분포한다.

2. 만약 $M = M_c$ 이면 유기체가 공간상에 고르게 분포하지만 무한한 시간이 지나면 한 점으로 모이게 된다.

3. 만약 $M > M_c$ 이면 1. 같은 해의 형태는 존재하지 않는다.

수치해석적 방법은 많은 연구자(Jan Haskovec, Christian Schmeiser 등)에 의해 연구되어 왔으나 Ibrahin Fatjulin의 입자 -장 방법으로부터 시작했다. (추가예정)

Ibrahin의 방법에서 특기할만 한 점은 다른 수치해석적 방법과는 다르게 뭉쳐있는 입자 사이의 퍼텐셜 함수를 명시적으로 주지 않은것이다.

또한 유기체가 간신히 뭉친 상태를 유지할 수 있는 임계질량 $M_c$를 이론에서 예측한 값에 꽤 근접하게 얻어낼 수 있다는 점이다.

이 글에서 사용한 식은 위의 식과는 형태가 조금 다르다. 그 식의 형태는 아래와 같다.

$$ \partial_t \rho = \nabla ( \chi rho \nabla c - \mu \nabla \rho ) \cdots (eqn.4) $$ $$ \alpha \partial_t c = \rho + \nabla^2 c - k^2 c \cdots (eqn.5) $$

이 떄 $\alpha$의 값에 따라 식의 형태가 0일때의 타원적 모형과 0이 아닐때의 포물선적 모형으로 나뉜다.

먼저 유기체(입자)의 시간 간격 $\Delta t$당의 이동 규칙은 아래와 같다.

$$ X^{(N)}(t+ \Delta t) = X^{(N)}(t) - \nabla (c(X^{N}(t),t) \Delta t + \sqrt{2 \mu \Delta t}\mathcal{N}(0,1) $$

위 식의 형태를 보면 우항의 첫 번째 부분은 시간간격 $\Delta t$동안 화학물질 농도마당의 기울기가 -인 방향(농도가 더 높은 방향)으로 움직이는 편향성을 나타낸다. 두 번째 부분은 $\mu \Delta t$에 해당하는 확산계수를 가지고

막걷기 운동을 하는 것이다. 여기서 $\mathcal(N)$은 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포에서 얻는 무작위수다.

입자 방법은 입자가 있는 사각형 격자의 가장 가까운 격자점 4개에 선형 보간 규칙을 이용하여 유기체 위치에 따른 덩어리 값(wieght)를 주는것이다.

이렇게 덩어리 값을 얹고 한 개당 질량 $M_{tot}/N$을 곱하고 격자의 면적으로 나누어서 밀도를 구한다.

밀도에 어떤 비례상수를 곱해서 화학물질 밀도를 구하는데 이때에는 확산방정식을 backward Euler method를 써서 격자점마다 화학물질 밀도를 할당한다.

유기체가 느끼는 그래디언트 값은 1차 중심미분으로 격자점마다의 미분값을 구하고 유기체 입자의 위치에 대해 선형보간을 적용하여 할당한다.

이때 실험한 공간의 조건은 타원적 모형인 $\alpha = 0$에 대해 풀었으며 전체 시스템 크기$L = 3.2$이고 단위 격자의 길이 $\Delta x = 0.05$, 화학물질 감수율$\chi = 0.1$ 유기체의 자유확산계수 $\mu = 0.05$다.

화학물질은 1의 비율로 내려놓아 유기체 밀도가 곧 화학물질 장의 원천이 된다. 증발률에 해당하는 $k^2$은 임계질량 실험에서 0.01로 두었다. (추가예정)

만일 유기체가 내놓는 화학물질량이 많이 축적된다면 덩어리 값을 주는 방법으로 꽤 매끄러운 화학물질 농도의 모양을 얻을 수 있을것이다.

이 아이디어에서 출발해서 화학물질 농도를 주는 규칙을 화학물질 총량에서부터 시작하자. 화학물질은 제한없이 확산계수 $\nu$에 따라 자유확산을 한다.

화학물질 농도를 추산하는 방법은 Ibrahin이 쓴 덩어리 값을 격자점에 주는 방법을 쓴다.

임계질량을 측정하기 위해서 질량을 바꿔주면서 충분한 시간에 밀도의 제곱을 전체 공간에 대해 적분한다. (추가예정)

먼저 어떤 시간 T의 밀도의 제곱을 전체 공간에 대해 적분한 값을 측정해 볼 수 있을것이다.

왜냐하면 충분한 시간 T가 지나면($M>M_c$인 경우 유한한 시간 안에) 한 점으로 모이기 때문에 임계 질량 근처에서 측정값이 뛰는 현상을 나타낼 것이다.

$$\int_{R^2} \rho (x)^{2} dx $$

또 시간에 대한 2차 모멘트의 값($I_2$라 하겠다)을 그리거나 시간에 대한 2차 모멘트의 미분을 그려볼수도 있다. 관계식

$$\frac{d}{dt}\int_{R^2} |x|^{2}\rho(x) dx = frac{M}{8\pi}(8\pi-M)$$

에서 질량이 임계질량에 해당하는 $8\pi$보다 클때 시간에 대한 $I_2$의 변화는 $0$보다 작다. 임계질량보다 작은 경우에는 반대가 된다.

이는 $\rho$가 어떤 확률함수일때 그것에 대한 $|x|^2$의 평균을 구한것의 시간 변화를 의미하는데 $|x|^2$을 면적에 비례하는 값이라고 생각한다면

질량이 임계질량보다 큰 경우 에는 면적이 줄어든다는 결과를 준다. 한 점으로 모이는 것은 면적이 줄어드는 것이므로 꽤 타당하다.

1. 기차같은게 어떤 지점 a 에서 b 까지 갈 때 브레이크를 사용하지 않고 마찰력만으로 매끄럽게 b에 도착하는 경우를 열역학적 상태와 연결할수 있을까?

2. 정체 현상은 절~~~ 대로 해소할수 없는것에 대한 증명: 이상유체에 대해 공부해보자….

3. …..