하이젠베르크의 불확정성 원리와 이를 따르는 엔트로피의 관계식이 있다. 두 허미션 연산자 $\hat{A}\,, \hat{B}$, 양자 상태 $| \psi \rangle$이 있다고 하자. 그리고 $\langle \psi | \hat{A}\hat{B} | \psi \rangle = x+iy$를 가정하자. 이 경우 두 연산자의 교환자와 반교환자의 관계식

\begin{align*} \langle \psi | [\hat{A}, \hat{B}] | \psi \rangle = 2iy \qquad \langle \psi | \{\hat{A}, \hat{B}\} | \psi \rangle = 2x \end{align*}

이고 이들의 절댓값 제곱의 합은 아래의 식을 만족한다.

\begin{equation*} | \langle \psi | [\hat{A}, \hat{B}] | \psi \rangle |^2 + | \langle \psi | \{\hat{A}, \hat{B}\} | \psi \rangle |^2 = 4| \langle \psi | \hat{A}\hat{B} | \psi \rangle |^2 \end{equation*}

여기서 코시-슈바르츠 부등식

\begin{equation*} \langle \psi | \hat{A}\hat{B} | \psi \rangle \leq \langle \psi | \hat{A}\cdot\hat{A} | \psi \rangle \langle \psi | \hat{B}\cdot\hat{B} | \psi \rangle \end{equation*}

이므로

\begin{equation*} \langle \psi | [\hat{A}, \hat{B}] | \psi \rangle \leq 4\langle \psi | \hat{A^2} | \psi \rangle \langle \psi | \hat{B^2} | \psi \rangle \end{equation*}

다음으로 관측가능값(observables) $\hat{C}, \hat{D}$를 앞의 허미션 연산자 $\hat{A} = \hat{C} - \langle \hat{C} \rangle$, $\hat{B} = \hat{D} - \langle \hat{D} \rangle$ 의 관계로 두어 계산하면,

\begin{align*} \Delta C \cdot \Delta D \geq \frac{\langle \psi | [\hat{C}, \hat{D}] | \psi \rangle}{2} \end{align*}

$\Delta C\,,\Delta D$는 C와 D의 표준편차이다. 이제 이 결과를 엔트로피에 적용해보자. 우리가 얻고싶은 식은

\begin{equation*} H(\hat{C}) + H(\hat{D}) \geq 2\log\left(\frac{1}{f(\hat{C},\hat{D})}\right) \end{equation*}

하지만 이것을 얻는 방법이 약간 복잡해서, 조금 약한 결과

\begin{equation*} H(\hat{C}) + H(\hat{D}) \geq -2\log\left(\frac{1+f(\hat{C},\hat{D})}{2}\right) \end{equation*}

를 얻어보도록 하자. 관측값 $\hat{C}\,, \hat{D}$에 대한 스펙트럴 분해(고유값 분해)

\begin{equation*} \hat{C} = \sum_c \lambda_c | c \rangle \langle c | \qquad \hat{D} = \sum_d \lambda_d | d \rangle \langle d | \end{equation*}

그리고 얻고자 하는 식의 함수 f는

\begin{equation*} f(\hat{C},\hat{D}) \equiv \max_{C,D} | \langle c | d \rangle | \end{equation*}

• M.A. Nielsen and I.L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition, Cambridge University Press (2010), Chapter 11