하이젠베르크의 불확정성 원리와 이를 따르는 엔트로피의 관계식이 있다. 두 허미션 연산자 $\hat{A}\,, \hat{B}$, 양자 상태 $| \psi \rangle$이 있다고 하자. 그리고 $\langle \psi | \hat{A}\hat{B} | \psi \rangle = x+iy$를 가정하자. 이 경우 두 연산자의 교환자와 반교환자의 관계식

$$\begin{align*} \langle \psi | [\hat{A}, \hat{B}] | \psi \rangle = 2iy \qquad \langle \psi | \{\hat{A}, \hat{B}\} | \psi \rangle = 2x \end{align*}$$

이고 이들의 절댓값 제곱의 합은 아래의 식을 만족한다.

$$\begin{equation*} | \langle \psi | [\hat{A}, \hat{B}] | \psi \rangle |^2 + | \langle \psi | \{\hat{A}, \hat{B}\} | \psi \rangle |^2 = 4| \langle \psi | \hat{A}\hat{B} | \psi \rangle |^2 \end{equation*}$$

여기서 코시-슈바르츠 부등식

$$\begin{equation*} \langle \psi | \hat{A}\hat{B} | \psi \rangle \leq \langle \psi | \hat{A}\cdot\hat{A} | \psi \rangle \langle \psi | \hat{B}\cdot\hat{B} | \psi \rangle \end{equation*}$$

이므로

$$\begin{equation*} \langle \psi | [\hat{A}, \hat{B}] | \psi \rangle \leq 4\langle \psi | \hat{A^2} | \psi \rangle \langle \psi | \hat{B^2} | \psi \rangle \end{equation*}$$

다음으로 관측가능값(observables) $\hat{C}, \hat{D}$를 앞의 허미션 연산자 $\hat{A} = \hat{C} - \langle \hat{C} \rangle$, $\hat{B} = \hat{D} - \langle \hat{D} \rangle$ 의 관계로 두어 계산하면,

$$\begin{align*} \Delta C \cdot \Delta D \geq \frac{\langle \psi | [\hat{C}, \hat{D}] | \psi \rangle}{2} \end{align*}$$

$\Delta C\,,\Delta D$는 C와 D의 표준편차이다. 이제 이 결과를 엔트로피에 적용해보자. 우리가 얻고싶은 식은

$$\begin{equation*} H(\hat{C}) + H(\hat{D}) \geq 2\log\left(\frac{1}{f(\hat{C},\hat{D})}\right) \end{equation*}$$

하지만 이것을 얻는 방법이 약간 복잡해서, 조금 약한 결과

$$\begin{equation*} H(\hat{C}) + H(\hat{D}) \geq -2\log\left(\frac{1+f(\hat{C},\hat{D})}{2}\right) \end{equation*}$$

를 얻어보도록 하자. 관측값 $\hat{C}\,, \hat{D}$에 대한 스펙트럴 분해(고유값 분해)

$$\begin{equation*} \hat{C} = \sum_c \lambda_c | c \rangle \langle c | \qquad \hat{D} = \sum_d \lambda_d | d \rangle \langle d | \end{equation*}$$

그리고 얻고자 하는 식의 함수 f는

$$\begin{equation*} f(\hat{C},\hat{D}) \equiv \max_{C,D} | \langle c | d \rangle | \end{equation*}$$

으로, 이를테면 C와 D가 각각 파울리 행렬 X와 Z인경우, X와 Z의 고유벡터 중 최댓값은 $f(\hat{X},\hat{Z})=1/\sqrt{2}$이다. 마지막으로 각 관측값의 측정으로 얻는 확률을 $p(c)\,, q(d)$라고 하자. 먼저 각 엔트로피의 합은

$$\begin{equation*} H(\hat{C}) + H(\hat{D}) = -\sum_{c,d}p(c)q(d)\log p(c)q(d) \end{equation*}$$

$p(c)\,, q(d)$는 양자상태 $| \psi \rangle$의 투영측정으로 얻을 수 있다.

$$\begin{equation*} p(c) = | \langle c | \psi \rangle |^2 \qquad q(d) = | \langle d | \psi \rangle |^2 \qquad p(c)q(d) = | \langle c | \psi \rangle \langle d | \psi \rangle |^2 = | \langle c | \psi \rangle \langle \psi | d \rangle |^2 \end{equation*}$$

한편, $| \psi \rangle$이 $| c \rangle\,, | d \rangle$으로 생성된(spanned) 공간으로 임의의 상태 $| \tilde\psi \rangle$로 투영측정된다고 하면, $p(c)q(d)$의 확률은

$$\begin{equation*} p(c)q(d) = | \langle c | \psi \rangle \langle \psi | d \rangle |^2 = \lambda^2\cos^2(\theta-\phi)\cos^2(\phi) \end{equation*}$$

따라서 $\lambda=1\,, \phi=\theta/2$에서 확률의 최댓값을 만족하게 된다. 그러므로,

$$\begin{equation*} p(c)q(d) = \cos^4(\theta/2) = \left(\frac{1+\cos\theta}{2}\right)^2 = \left(\frac{1+|\langle c | d \rangle |}{2}\right)^2 = \left(\frac{1+f(\hat{C},\hat{D})}{2}\right)^2 \end{equation*}$$

이며 이경우에는 엔트로피 최솟값이 되므로, $H(\hat{C}) + H(\hat{D})$의 부등식이 성립하게 된다.

• M.A. Nielsen and I.L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition, Cambridge University Press (2010), Chapter 11
• D. Deutsch, Uncertainty in Quantum Measurements, PhysRevLett.50.631 (1983), 631–633, https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.50.631