일차원 탄성 충돌

질량 $m_1$인 입자가 $v_{1i}$의 속도를 가지고 질량 $m_2$인 입자가 $v_{2i}$의 속도를 가진 상태에서 탄성 충돌했다고 하자. 1차원 충돌이므로 $v$의 부호로 방향을 나타내기로 한다. 운동량 보존과 운동 에너지 보존으로부터 충돌 이후의 속도를 다음처럼 얻을 수 있다: \begin{eqnarray*} v_{1f} &=& \left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right) v_{1i} + \left(\frac{2m_2}{m_1+m_2}\right) v_{2i}\\ v_{2f} &=& \left(\frac{2m_1}{m_1+m_2}\right) v_{1i} + \left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right) v_{2i}. \end{eqnarray*} 이로부터 첫 번째 입자가 얼마의 에너지를 두 번째 입자에 넘겨 주었는지 다음처럼 계산할 수 있다: \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}m_1 \left( v_{1f}^2 - v_{1i}^2 \right) &=& \frac{2m_1 m_2 (v_{2i}-v_{1i}) (m_2 v_{2i} + m_1 v_{1i})}{(m_1 + m_2)^2}\\ &=& - \frac{1}{2} m_2 \left( v_{2f}^2 - v_{2i}^2 \right). \end{eqnarray*} 흥미로운 점은 우리가 어떤 관성 좌표계에서 보느냐에 따라 이 양이 달라진다는 사실이다. 한 입자가 다른 입자에 한 일의 양이 $\int \vec{F} \cdot d\vec{r}$이고 힘과 변위 모두 갈릴레이 변환에 불변이라는 점을 생각하면 이는 이상하게 보일 수도 있다. 그러나 실제로는 힘이 작용하는 동안의 변위가 달라지기 때문에 옳은 결과이다.

간단히 하기 위해 $m_2 \gg m_1$이라 가정한다. $m_2$가 정지해있는 관성좌표계를 택하면, $m_1$이 $v_{1i}$로 접근했다가 충돌 후 $-v_{1i}$의 속도로 멀어지므로 운동 에너지 변화량이 영이다. 반면에 $v_0$의 속도를 가지는 관성좌표계에서 기술한다면 $v_{1i}' = v_{1i} - v_0$와 $v_{2i}' = -v_0$가 되어 $$\Delta K' \approx 2m_1 v_{1i} v_0$$ 를 얻는다.

충돌 과정의 세부는 중요하지 않으므로 쉽게 다룰 수 있게끔 용수철을 이용한 되튐처럼 생각하자. 즉 질량이 $m_2$로 큰 물체에 가볍고 충분히 긴 용수철이 달려있어서 $m_1$이 그 평형점보다 가까이 오면 척력을 받는 식이다. 용수철 상수는 $k$로 놓는다. $t=0$에서 $m_1$이 용수철이 접촉해서 $t=\tau$에서 $m_2$에 가장 근접하며 $t=2\tau$에는 다시 평형점으로 돌아와 접촉을 잃는다고 하자. 압축과 복원 과정에 같은 시간이 걸리는 것은 용수철 운동이 시간 반전에 대한 대칭성을 가진다는 사실로부터 추측할 수 있다.

먼저 $\tau$를 구해보자. $m_2$가 정지해있는 원래의 관성좌표계에서 역학적 에너지 보존을 사용하면 $m_1$의 속력 $v(t)$를 구할 수 있다: $$\frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} kx^2$$ $$v^2 = v_{1i}^2 - \frac{k}{m_1} x^2$$ $$\frac{dx}{dt} = v = \sqrt{v_{1i}^2 - \frac{k}{m_1}x^2}$$ $$\int_0^\tau dt = \int_0^{x_{\text{max}}} \frac{dx}{\sqrt{v_{1i}^2 - \frac{k}{m_1} x^2}}$$ 이 때 용수철의 최대 압축 정도인 $x_{\text{max}}$는 $v=0$으로 정지한 시점이므로 역학적 에너지 보존으로부터 $x_{\text{max}} = \sqrt{\frac{m_1}{k}} v_{1i}$이다. 위 우변의 적분을 수행하면 $$\tau = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{m_1}{k}}$$ 이고, 사실 용수철의 단진동을 생각하면 그 주기의 1/4이므로 직관적으로 옳은 결과이다.

원래의 좌표계에서 시간 $0$부터 $2\tau$ 사이에 $m_1$에 행해진 일의 양은 물론 영이다: $$\int_0^{x_\text{max}} (-kx) dx + \int_{x_\text{max}}^0 (-kx) dx = 0.$$ 여기에서 음의 부호는 척력을 의미한다.

반면에 $v_0$의 관성좌표계에서 충돌을 기술하면 \begin{eqnarray*} \int_\text{compress} (-kx) (dx-v_0 dt) + \int_\text{restore} (-kx) (dx - v_0 dt) &=& 2 \int_0^{x_{\text{max}}} kx v_0 \frac{dx}{\sqrt{v_{1i}^2 - \frac{k}{m_1} x^2}} = 2m_1 v_{1i} v_0 \end{eqnarray*} 로서 위에서 구한 $\Delta K'$과 일치한다. 용수철이 미치는 힘 $(-kx)$와 $v_0 dt$는 압축과 복원 과정에서 모두 일정한 부호를 유지하므로 곱해서 적분할 때 상쇄되지 않고 2배가 된다. 이 계산을 통해 관성좌표계의 $v_0$로 인해 힘이 작용하는 변위가 $dx - v_0 dt$로 변하는 것을 명시적으로 확인할 수 있다.