statphys 수학

수학:1차_선형_상미분방정식

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-05-23T20:58:57+00:00

개요 $P(x)$와 $Q(x)$가 주어져있을 때, $y(x)$가 다음의 미분방정식을 만족한다고 하자: $$\frac{dy}{dx} + P(x)y(x) = Q(x)$$ 초기 조건이 $y(x=x_0)=y_0$로 주어진다면, 해는 형식적으로 다음처럼 쓸 수 있다: $$y(x) = e^{-I(x;x_0)} \int_{x_0}^x Q(x') e^{I(x';x_0)} dx' + y_0 e^{-I(x;x_0)}.$$ 이 때 $I(x;x_0) \equiv \int_{x_0}^x P(x') dx'$이다. 위 식 우변의 첫 번째 항이 $Q(x)$에 의해 추동되는 특수해(particular solution)이며 두 번째 항은 초기 조건을 맞춰주는 역할을 한다. 밑의 내용과 비교하기 위해 적분 앞의 지수함수를 적분 속의 지수함수와 합쳐서 써놓도록 하자: $$y(x) = \int_{x_0}^x e^{-I(x;x')} Q(x') dx' + e^{-I(x;x_0)} y_0.$$$0$$$\frac{dy}{dx…

수학:그라스만_대수

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-04-20T13:50:15+00:00

개요 반교환(anti-commutator) 연산자에 대해 다음처럼 거동하는 변수들에 대한 대수적 규칙들: $$\{ \theta_i, \theta_j \} = \theta_i \theta_j + \theta_j \theta_i = 0.$$ 지수함수 지수함수를 전개했을 때 위의 성질로부터 이차항 이상의 고차항이 모두 사라지고 $\exp(\bar{\theta} \theta) = 1 + \bar{\theta} \theta$. 미분 연산자 $$\frac{\partial}{\partial \theta_i} \theta_j = \delta_{ij}.$$$$\frac{\partial}{\partial \theta_i} \frac{\partial}{\partial \theta_j} \theta_i \theta_j = - \frac{\partial}{\partial \theta_i} \frac{\partial}{\partial \theta_j} \theta_j \theta_i = - \frac…

수학:네덜란드식_마권

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

개요 확률론의 한 가지 논법으로, 무작위적 사건들에 대해 사람마다 “주관적인” 확률이 존재한다는 견해에 기초하고 있다. 비록 주관적일지라도 합리적인 사람이라면 그렇게 할당한 확률들이 아래의 표준적인 확률 규칙들을 만족해야만 한다는 것이 논점이다.$S$$pS$$p$$S$$-S$$-pS$$p$$E$$\overline{E}$$E$$p(E)$$\overline{E}$$p(\overline{E})$$S_E$$S_\overline{E}$$p(E) S_E$$p(\overline{E}) S_\overline{E}$$E$$$G_E = S_E - p(E) S_E - p(\overline{E}) S_\overline{E}$$$\overline{E}$$$G_{\overline{E}} = S_{\overline{E}} - p(E) S_E - p(\overline{E}) S_\overline{E}$$$S_{\overline{E}}$$$G_E = S_E - p(E) S_E = [1-p(E)] S_E$$$$G…

수학:대기시간의_역설

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

개요 정확히 10분 간격으로 오는 버스가 있고, 내가 무작위로 정류장에 도착한다면 대기시간은 평균 5분일 것이다. 반면 평균 10분 간격의 푸아송 과정으로 도착하는 버스가 있을 때 마찬가지로 무작위로 정류장에 도착한다면 대기시간은 5분이 아니라 10분이 된다.$T$$\rho(T) dT$$(T, T+dT)$$\rho(T) = \mu e^{-\mu T}$$T$$p(T)$$p(T) \propto T \rho(T)$$\int_0^\infty p(T) dT = 1$$p(T) = \frac{T \rho(T)}{\left< T \right>}$$\left< T^n \right> \equiv \int_0^\infty T^n \rho(T) dT$$\tau$$p(\tau)$\begin{eqnarray*} p(\tau) &=& \int_0^\infty p(\tau, T) dT\\ &=& \int_0^\infty p(\tau|T) p(T) dT. \end{eqnarray*}$p(\tau|T)$$T$$\…

수학:등각_사상

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2025-10-21T15:52:00+00:00

개요 전자기학에서 통계물리학에서 참고문헌 * James R. Claycomb, Applied Electromagnetics (Jones and Bartlett, 2008) * Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3rd ed. (Wiley, Hoboken, NJ, 2006) *

수학:디락_델타_함수

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-04-09T11:05:16+00:00

적분 표현 $f(x)$의 푸리에 변환 $$f(x) = \int_{-\infty}^\infty g(k) e^{ikx} dx$$ $$g(k) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-ikx} dk$$ 로부터 두 번째 식을 첫 번째 식에 대입하면 \begin{eqnarray} f(x) &=& \int_{-\infty}^\infty \left[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty f(y) e^{-iky} dk \right] e^{ikx} dx\\ &=& \int_{-\infty}^\infty f(y) \left( \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ik(x-y)} dk \right) dy\\ &=& \int_{-\infty}^\infty f(y) \delta(x-y) dy \end{eqnarray} 임을 알 수 있다. 식 (1)에서는 허깨비 변수 $y$를 사용했음에 유의한다. 즉…

수학:라플라스_방정식

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

개요 성질 평균값 성질 2차원 함수 $u(x,y)$가 라플라스 방정식 $\nabla^2 u = u_{xx} + u_{yy} = 0$의 해라고 하자. 어떤 점 $(x_0, y_0)$ 주변으로 반지름 $r$인 원을 그리고 그 원주 $(x,y) = (x_0 + r\cos\theta, y_0 + r\sin\theta)$를 따라 $u$를 평균한 값을 다음처럼 적을 수 있다. \begin{eqnarray*} f(r|x_0, y_0) &=& \frac{1}{2\pi r} \int_0^{2\pi} u(x_0 + r\cos\theta, y_0 + r\sin\theta) r d\theta\\ &=& \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(x_0 + r\cos\theta, y_0 + r\sin\theta) d\theta \end{eqnarray*} 이 식이 반지름 $r$$r+dr$$r$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dr} f(r|x_0, y_0) &=& \fra…

수학:라플라스의_방법

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

개요 아래와 같은 적분을 생각하자: \[ I(\lambda) = \int_a^b f(t) e^{-\lambda g(t)} dt. \] 우리는 $\lambda \to \infty$의 극한에서 이 적분값을 구하는 것이 목적이다. $f$ 및 $g$는 충분히 매끈하다고 가정하며, 특히 $f(t) \neq 0$, 그리고 $g$는 $(a,b)$의 구간 내부에서 최소점 $c$를 가져서 $g'(c)=0$, $g''(c)>0$이라고 가정하자. 위의 적분을 아래처럼 다시 적고 \[ I(\lambda = e^{-\lambda g(c)} \int_a^b f(t) e^{-\lambda [g(t) - g(c)]} dt \]$\lambda \to \infty$$c$\begin{eqnarray*} I(\lambda) &\approx& e^{\lambda g(c)} \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} f(t) e^{-\lambda [g(t) - g(c)]} dt\\ &\approx& e^{\…

수학:르장드르_변환

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-06T11:14:09+00:00

개요 제어 변수 $x$와 그에 의존하는 값 $F$가 존재한다고 해보자. 즉 $F = F(x)$이다. $s=dF/dx$를 제어 변수로 하는 $G=G(s)$를 도입하면서 $F(x)$가 담고 있던 정보를 그대로 살리고자 한다. 다음 두 조건이 만족될 때 르장드르 변환은 이를 위한 편리한 도구가 된다:$d^2F/dx^2$$x$$dF/dx$$x$$dF/dx$$x$$F(x)$$s$$y$$x=0$$-G$$$\frac{F - (-G)}{x} = s$$$G = sx - F$$G = G(s)$$$G(s) = s x(s) - F[x(s)]$$$y = dG/ds$$H=H(y)$$$H(y) = y s(y) - G[s(y)]$$$G = sy - H$$G= sx-F$$$\{F, x\} \leftrightarrow \{H, y\}$$$U = \frac{1}{2}k(x-x_{\min})^2$$x_{\min}$$f$$x$$$\frac{dU}{dx} = k(x - x_{\min}) = f$$$-dU/dx$$-dU/…

수학:범함수

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

범함수의 개념 범함수에 대해 이야기 하기 전에 함수의 정의를 떠올려 보자. 예를 들어 함수 $f(x)$가 $f(x)=x^{3}$일 때 $x$에 $3$을 대입하면 $27$을 얻게 된다. 이렇게 어떤 숫자를 대입하였을 때 계산의 결과로서 숫자가 나오는 것을 함수라 할 수 있다. 범함수는 함수와는 조금 다르게 어떤 함수를 대입하였을 때 숫자가 나오는 것이라고 생각하면 된다. 간단한 예를 들자면 다음과 같은 $F$$$F[f]=\int_{0}^{1}f(x)dx$$$F$$f(x)=x^{2}$$$F[f]=\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}$$$$\frac{df}{dx}=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon}$$$x$$f(x)$$$\frac{\delta F}{\delta f(x)}=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{F[f(x^{\prime})+…

수학:베셀_함수

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

베셀 함수의 라플라스 변환 미분방정식을 통하는 방법 $y=J_0(x)$가 만족하는 베셀 방정식은 $x(y''+y)+y'=0$이다. 이를 라플라스 변환하면 \begin{eqnarray*} 0 &=& -\frac{d}{ds} L[y''+y] + L[y']\\ &=& -\frac{d}{ds} \left[ s^2 Y(s) + Y(s) - sy(0) - y'(0) \right] + sY(s) - y(0)\\ &=& -(1+s^2) Y'(s) - s Y(s), \end{eqnarray*} 이고 이때 $Y \equiv L[y]$를 의미한다. 위 미분방정식을 풀면 \[ Y(s) = \frac{c}{\sqrt{1+s^2}} \] 을 얻는데 미정계수 $c$는 다음처럼 구할 수 있다: \[ 0 = \lim_{s\to \infty} L[y'] = \lim_{s\to \infty} \left[ s Y - y(0) \right] = c-1.\]$a>0$$b>0$\begin{eqnarray*} \int_0…

수학:베이즈의_정리

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

베이즈의 정리 조건부 확률의 정의로부터 $$ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}= \frac{P(A \cap B)}{P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})} = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B})}. $$ 이 식은 $P(A|B)$와 $P(B|A)$를 연결지어준다. 분모에 등장하는 것처럼 가능한 $B$의 사건에 대해 더함으로써 얻어지는 확률은 주변(marginal) 확률이라고도 불린다: $$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}).$$ 베이즈의 정리를 이용한 추론 $X$$X$$x_i = 0, \ldots, 5$$g(0) = g(1) = \ldots = g(5) = 1/6$$Y$$P(Y=1|X=x_i) = i/5$$P(Y=0|X=x_i) = (5-i)/5$$x_i$$1/2$$X$$x_i$$\times$$x_i$$\t…

수학:베이지언_자백약

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

개요 주관적인 답만이 가능한 문제에 대해 진실한 응답을 하는 것이 내쉬 균형이 되게끔 설계된 게임. 베이즈의 정리를 사용해 추론할 경우 자신이 알고 있는 진실의 빈도를 다른 사람들은 과소평가해서 예측할 것으로 기대한다는 점을 이용한다. 예를 들어 내가 가장 좋아하는 화가가 피카소라고 하면 나는 많은 사람들, 예컨대 100명 중 피카소를 꼽는 사람이 적어도 한 명(=나) 있다는 것을 안다. 하지만 나는 `다른 사람들은 이 사실을 몰라서 피카소 애호가의 비율을 1/1000 정도로 과소평가해서 예측할 것'으로 기대한다는 것이다.$m$$r$$t^r = (t_1^r, \ldots, t_m^r)$$t_k^r$$k$$x^r = (x_1^r, \ldots, x_m^r)$$x_k^r$$k$$x^r$$y^r = (y_1^r, \ldots, y_m^r)$$y_k^r$$k$$n$$\omega = (\omega_1, \ldots, \omega_m)$$p(\omega)$$p(\omega| t^r)$$t^r…

수학:상관함수

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

상관함수 상관함수를 얻기 임의의 함수 $A(x)$ 가 있을 때 변수 $x \in [a,b]$ 에 대해 $x \rightarrow x+x_\text{corr}$ 을 한 함수 $A(x+x_\text{corr})$ 를 $A(x)$ 에 곱하여 구간에서의 평균을 구하자. 이렇게 얻어진 $x_\text{corr}$ 의 함수를 $G(x_\text{corr})$ 이라고 하고 상관함수라고 부른다. \begin{equation*} \begin{split} G(x_\text{corr}) &= \frac{\int_{a}^{b} A(x)A(x+x_\text{corr}) dx}{(b-a)}\\ &= \big \end{split} \end{equation*} $t\in [0,2\pi]$$\cos{t}$\begin{equation*} \begin{split} G(t_\text{corr}) &= \frac{\int_{0}^{2\pi} \cos(t) \cos(t+t…

수학:상관함수의_푸리에_변환

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

푸리에 변환 규칙 변수 $t$ 와 $\omega$ 에 대해 푸리에 변환을 다음과 같이 정의하자. $$ t \rightarrow \omega, \quad f(\omega) = \int dt f(t)e^{i\omega t} $$ $$ \omega \rightarrow t, \quad f(t) = \frac{1}{2\pi}\int d\omega f(\omega)e^{-i\omega t} $$ 상관함수의 푸리에 변환 변수 $t$ 의 함수인 두 성분 $q_{i}(t),q_{j}(t)$ 를 생각해보자. 예를들어 $i=1,j=2$ 라 두고 각각을 속도와 운동량이라고 할 수 있다. 어떤 두 성분의 $t$$$ C_{ij}(t-t^{\prime}) \equiv \left< q_{i}(t),q_{j}(t^{\prime}) \right>$$$\left< \cdots \right>$$q_i,q_j$$$ \int C_{ij}(t-t^{\prime}) e^{i\omega(t-t^{\prime})}…

수학:소호츠키-플레멜_공식_sokhotski-plemelj_formula

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

소호츠키-플레멜 공식 (Sokhotski-Plemelj formula) 개요 소호츠키-플레멜 공식은 다음과 같은 일반화된 함수(또는 분포) 사이의 관계이다. \begin{equation} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{x \pm i\epsilon} = \Pr \left(\frac{1}{x}\right) \mp i \pi \delta(x) \end{equation} 이때 $\epsilon$은 무한소량 (infinitesimal quantity)이며, $\epsilon > 0$ 이다. 이 항등식은 원점 부근에서 매끄럽고 특이점이 존재하지 않는 (smooth and non-singular) 함수 $f(x)$$x$$f(x) \rightarrow 0$$x \rightarrow \pm \infty$$\pm\infty$\begin{equation} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\in…

수학:순환_행렬_circulant_matrix

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-12-09T21:31:44+00:00

순환 행렬 (circulant matrix) '순환 행렬'이라 함은, 보통 다음과 같은 꼴을 갖는 행렬을 가리킨다. $$ C = \begin{pmatrix} c_0 & c_1 & c_2 & ... & c_{n-1} \\ c_{n-1} & c_0 & c_1 & c_2 & ... \\ c_{n-2} & c_{n-1} & c_0 & ... \\ ... \\ c_1 & c_2 & ... & c_{n-1} & c_0 \\ \end{pmatrix} $$ $$\\ $$ 즉, 각 행과 열을 구성하는 성분은 모두 일치하지만, 그 순서가 한 차례 씩 밀린 것을 확인할 수 있다.$$ \\ $$$j$$k$$r_{jk}$$r_{jk}$$A$$A$$$ \\ $$$$ v^0 = (1,\ 1,\ ..., 1)^T $$$c_0 + c_1 + ... + c_{n-1}$$$\\ $$$$ v_k = \left(1,\ \omega_n^k,\ \omega_n^{2k},\ ..., \omega_n^{(n-1)k}…

수학:스털링_근사

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

개요 계승(factorial) 혹은 그것을 일반화한 감마 함수를 큰 인수에 대해 근사적으로 계산하는 수식. 구분구적법을 이용하는 유도 아래와 같은 식을 생각하자. \begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \ln \frac{n!}{n^n} &=& \frac{1}{n} \left( \ln\frac{1}{n} + \ln\frac{2}{n} + \ldots + \ln \frac{n}{n} \right)\\ &\xrightarrow[n\to \infty]{}& \int_0^1 \ln x ~dx = -1 \end{eqnarray*} 따라서, $n! \approx n^n e^{-n}$임을 이해할 수 있다. 라플라스의 방법을 이용하는 유도 \begin{eqnarray*} \Gamma (p+1) &=& \int_0^\infty t^p e^{-t} dt\\ &=& \int_0^\infty e^{p \ln t - t} dt\\ &=& \int_0^\infty e^{-p\left( \…

수학:안장점_근사

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

내용 $$I = \int_a^b dt ~e^{-x f(t)} g(t)$$ 의 적분을 구하고자 한다. $x \gg 1$이고 구간 안의 어떤 $t_0$에서 $f$가 최소여서 $f'(t_0)=0$이며 $f''(t_0)>0$이라고 하자. $x$가 매우 크므로 $f$의 최소점 부근에서만 주로 적분의 기여가 있을 것으로 기대할 수 있다. 이 최소점 주위에서 $f(t)$$$f(t) \approx f(t_0) + \frac{1}{2} f''(t_0) (t-t_0)^2$$\begin{eqnarray} I &\approx& e^{-x f(t_0)} \int_a^b dt \exp\left[ -\frac{1}{2} x f''(t_0) (t-t_0)^2 \right] g(t_0)\\ &\approx& e^{-x f(t_0)} \sqrt{\frac{2}{f''(t_0)}} \int_{-\infty}^\infty e^{-xy^2} g(t_0). \end{eqnarray}$t = t_0 + y\sqrt{2/f…

수학:야코비언

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

2차원의 야코비언 임의의 변수 x,y가 있다고 하자. 이 변수들을 다른 변수 s,t로 변환할 때의 야코비언은 다음과 같이 쓸수 있다. $$J = J(\frac{x,y}{s,t}) = \frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(s,t)}}$$ 행렬식으로는, $$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{s}} & \frac{\partial{x}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{s}} & \frac{\partial{y}}{\partial{t}} \\ \end{vmatrix} $$ 으로 나타낼 수 있다. 예를들어, 미소넓이 $dA$$$dA = dxdy = |{J}|drd\theta$$$$J = J(\frac{x,y}{r,\theta}) = \frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(r,\theta)}}$$$$x=r\cos{\theta}, y=r\sin{\t…

수학:오일러-라그랑주_방정식

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

개요 오일러-라그랑주 방정식은 범함수 $S = \int_a^b L[t,q(t),\dot{q}(t)] dt$를 최대 혹은 최소로 만드는 함수 $q(t)$가 만족해야 하는 방정식이다. 이 때 $q$ 위에 찍는 점은 $t$에 대한 미분을 의미한다. $$\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0$$

수학:오차_분석

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

표준 오차 $n$번의 반복 실험을 통해 관찰된 값들 $x_1, x_2, \ldots, x_n$이 있을 때, 보고하는 값은 평균 $$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$$ 와 표준오차(standard error) $$\sigma_m \approx \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}{n(n-1)}}$$ 이다. 표준오차는 분산 $\sigma$와 비교했을 때 $\sigma_m = \sigma / \sqrt{n}$의 관계게 있다. 분산과 표준오차는 다른 목적을 가지고 있다: 분산은 한정된 수의 샘플을 통해 거대한 모집단의 특성을 추정하고자 할 때 계산하는 양이다. 그래서 많은 경우 $n$$n$$n$$n$$n$$(X_i, Y_i)$$\hat{Y}_i=a+bX_i$$Q \equiv \sum(Y_i-\hat{Y_i})^2$$$s_{\small Y \cdot X} \equiv \sqrt{\frac{\sum…

수학:윅의_정리

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-28T15:30:05+00:00

1차원 가우스 함수의 적분 볼츠만 인자 $e^{-E/T}$ 를 생각해보자 이때 $E/T = (\alpha x^{2})/2 $ 라면 분배함수는 아래와 같다. $$ Z = \int^{\infty}_{-\infty} dx e^{-\frac{\alpha}{2}x^{2}} = \sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}} $$ 다차원 가우스 함수의 적분 이제 차원을 확장해서 N차원에 대한 가우스 적분을 구해보자. 변수 $x_{k}, \: k = 1,2,...,N$$$\frac{E}{T} = \frac{1}{2} \sum^{N}_{k,l=1} \alpha_{kl} x_{k} x_{l} $$$$ Z = \int^{\infty}_{-\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big] e^{-\frac{1}{2}\sum^{N}_{m,n=1} x_{m}\alpha_{mn}x_{n}} $$$\alpha_{mn}$$N \times N$$(m,n)$$$ \sum^{N…

수학:인자_그래프

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-04-01T13:39:24+00:00

개요 인자 그래프(factor graph)란 함수를 인수분해하여 나타내기 위한 이분(bipartite) 그래프이다. 예를 들어 다음과 같은 인수분해로 표현되는 분포를 생각해보자: $$p(x_1, x_2, x_3, x_4) = f_a(x_1, x_2) f_b(x_1, x_2) f_c(x_2,x_3) f_d(x_3).$$ 그래프로는 아래처럼 표현된다.$x_1$$x_2$$f_a$$f_b$$\mathbf{x} \equiv (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$$$p(\mathbf{x}) = f_a(x_1, x_2) f_b(x_2, x_3) f_c(x_3, x_4) f_d(x_3,x_5).$$$x_2$$x_2$\begin{eqnarray*} p(x_2) &=& \sum_{x_1} \sum_{x_3} \sum_{x_4} \sum_{x_5} f_a(x_1, x_2) f_b(x_2, x_3) f_c(x_3, x_4) f_d(x_3,x_5)\\ &=& \left[ \sum_{x_1} f_…

수학:코흐_곡선

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

정의 코흐 곡선은 여러 프랙탈 도형중의 하나로, 같은 모양이 지속적으로 반복되는 프랙탈이다. 다양한 도형을 생각해볼 수 있으며, 여기서는 아래와 같은 모양을 형성하는 선을 예시로 살펴보자.$b=5$$d_L$\begin{equation} 5^{d_L} = 11 \, \rightarrow \, d_L = \ln11 / \ln5 \end{equation}\begin{equation} \mathbf{d} = \left( d_{\rm sq}\,, d_{\rm dead}\,, d_{\rm cor}\,, d_{\rm para}\,, d_{\rm line}\,, d_{\rm empty} \right) \end{equation}\begin{align} SI = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 5 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 3 & 4 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 &…

수학:크로네커_델타

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

정의 $$\delta_{nn'} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{if~}n=n'\\ 0 & \mbox{otherwise}. \end{array} \right.$$ 합으로의 표현 이산 형태의 푸리에 급수를 통해 보면 $$\sum_{j=1}^N \exp \left[ 2\pi i(n'-n) \frac{j}{N} \right] = N \delta_{nn'}.$$ 이 때에 $n=n'$에서 $N$이 되는 것은 자명하다. 또 $n \neq n'$이라면 위 합은 상쇄되어 0이 된다. 이는 등비급수의 합을 통해 바로 확인할 수 있다: $$\sum_{j=1}^N \exp \left[ 2\pi i(n'-n) \frac{j}{N} \right] = \frac{1-\exp \left[ 2\pi i(n'-n) \right]}{1-\exp \left[ \frac{2\pi i(n'-n)}{N} \right]} \exp \left[ \frac{2\pi i(n'-n)}…

수학:텐서

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

직교하지 않는 좌표계에서의 벡터 표현 좌표계의 축들이 직교하지 않는다고 해보자. 이 때 벡터를 성분으로 나타내려면 두 가지 방안이 있을 수 있다. 하나는 왼쪽처럼 축에 평행한 방향으로 선을 그어서 표현하는 방법이다. 이렇게 표현하는 벡터를 $\vec{r} = x^1 \vec{a}_1 + x^2 \vec{a}_2$$\vec{a}_i$$\vec{r} = x_1 \vec{a}^1 + x_2 \vec{a}^2$$\vec{a}^i$$\vec{a}_i$$\vec{r} = x_i \vec{a}^i = x^i \vec{a}_i$$\vec{r} \neq x_i \vec{a}_i$$\vec{r} \neq x^i \vec{a}^i$$\alpha$$x^1$$x_1$$\theta$$\alpha+\theta = \pi/2$$x_1 - x^1$$x^2$$\theta$$$ x_1 - x^1 = x^2 \sin \theta. $$$$ x_2 - x^2 = x^1 \sin \theta. $$$$\begin{p…

수학:특이값_분해_singular_value_decomposition

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

개요 특이값 분해는 정방행렬이 아닌 임의의 행렬을 특이값을 가진 행렬들로 분해하는 방법이다. 정방행렬의 고윳값 분해를 일반적인 행렬에 적용하는 것과 비슷하다. 이를테면 $m \times n$의 성분으로 이루어진 임의의 행렬 $X$\begin{equation} X_{mn} = U_{mm} \Sigma_{mn} V^{\dagger}_{nn} \end{equation}$U_{mm}$$V_{nn}$$\Sigma_{mn}$$\sigma_n$\begin{equation} \Sigma_{mn}= \begin{pmatrix} \sigma_1 & 0 & \dots & & 0 \\ 0 & \sigma_2 & & & \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ & & & \sigma_{n-1} & \\ 0 & & \dots & & \sigma_n \\ 0 & & \dots & & 0 \\ \vdots & & & & \vdots \\ 0 & & \dots & & 0 \end{pm…

수학:편미분

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2025-11-02T20:08:03+00:00

개요 변수 $x$, $y$, $z$와 이변수 함수 $f(x,y)$를 생각하자. 함수 $f$의 변화량은 $x$가 바뀜으로 인한 변화와 $y$가 바뀜으로 인한 변화로 다음처럼 기술된다. \[ df = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y dx + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x dy. \] 응용 변수 바꿔 적기 변수들 사이에 $y=y(x,z)$의 관계가 있다면 마찬가지로 $y$\[ dy = \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z dx + \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x dz. \]$f(x,y) = f\left( x, y(x,z) \right) = f(x,z)$\begin{eqnarray*} df &=& \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y d…

수학:푸리에_변환

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

푸리에 급수 주기함수를 삼각함수의 가중치로 분해한 급수. 주기가 $L$이며 $x \in [0,L)$에서 정의된 함수 $f(x) = f(x+L)$을 생각하자. 이를 푸리에 급수로 전개하면 다음처럼 쓸 수 있다: $$f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \exp \left(i \frac{2\pi n x}{L} \right).$$ 결국 문제는 계수 $c_n$을 찾는 것인데, 이는 복소 지수함수의 직교성을 이용하면 다음처럼 구할 수 있다: $$c_n = \frac{1}{L} \int_0^L f(x) \exp\left(-i \frac{2\pi n x}{L} \right).$$$N$$a=L/N$$y_j = f(x_j)$$x_j = ja$\begin{eqnarray} c_n &\approx& \frac{1}{L} \frac{L}{N} \left[ \frac{1}{2}f(0) + \frac{1}{2}f(L) + \sum_{j=1}^{N-1} \exp \left( -i \…

수학:합성곱

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

합성곱 라플라스 변환 $\mathcal{L}$에서 합성곱은 다음처럼 정의한다: $$f(t) \ast g(t) = \int_0^t f(t-t') g(t') dt'.$$ 그러면 $\mathcal{L}[f \ast g] = \mathcal{L}[f] \times \mathcal{L}[g]$가 만족된다. 합성곱의 미분 함수 $f(t)$와 $g(t)$를 합성곱한 다음 이를 $t$로 미분한 결과를 $h(t)$라 하자: $$h(t) = \frac{d}{dt} (f\ast g)(t)$$ 이것의 라플라스 변환은 아래와 같다: $$\tilde{h}(s) = \mathcal{L}\left[ \frac{d}{dt} (f\ast g) \right] = s \mathcal{L}[f\ast g] - (f\ast g)(0)$$ 여기에서 마지막 항은 적분구간의 길이가 0이므로 곧바로 0이 된다. 따라서 $$\tilde{h}(s) = s \tilde{f}(s) \tilde{g}(s) = [s\tilde{f}(…

수학:허바드-스트라토노비치_변환

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-04-14T13:02:45+00:00

개요 $a>0$일 때에 1차원 가우스 함수의 적분의 간단한 응용으로 다음 식이 성립한다: $$e^{ax^2/2} = \sqrt{\frac{aN}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-Nam^2/2 + \sqrt{N}amx}.$$ 해밀토니안 안에 $x$의 제곱항이 들어가 있을 때에 우변과 같이 변환하면 $x$의 선형항만이 남고 그 대신 보조변수인 $m$이 등장하게 된다. 예컨대 $x$$m$$a>0$$$e^{-ax^2/2} = \sqrt{\frac{aN}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-Nam^2/2 - i\sqrt{N}amx}.$$$$-\frac{a}{2}x^2+ bx = -\frac{a}{2}\left(x-\frac{b}{a}\right)^2 + \frac{b^2}{2a}$$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(a/2)x^2+bx} dx &=& e^{b^2/(2a)} \in…

수학:확률

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

두 가지 관점 빈도론(frequentism) 혹은 객관주의(objectivism) * 모집단의 특성을 나타내는 매개변수는 고정된 상수로서 우리에게 알려져 있지 않다. * 확률은 장기간에 걸친 상대적 빈도로 해석된다.$\mathbb{P}(A_{i_{1}} A_{i_{2}}\cdots A_{i_{k}})=\mathbb{P}(A_{i_{1}})\mathbb{P}(A_{i_{2}})\cdots\mathbb{P}(A_{i_{k}})$$k=2,\ldots,n$$k$$1\leq i_{1}