statphys 전산물리학

전산물리학:python_설치

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

실습용 설치 환경 * 32비트 Windows 7 * 인터넷 접속 불가 설치 순서 * python 2.7 설치 (python2는 2019년에 지원 중단될 예정) * numpy, matplotlib, VPython 설치 * 인터넷이 연결된 컴퓨터에서 이 사이트를 접속한 후 아래의 whl 파일들을 내려받아서 메모리 스틱에 저장한다. 32비트 Windows에 python 2.7과 함께 설치할 것이므로 해당하는 파일을 선택해야 한다. VPython 설치 파일은

전산물리학:qr_알고리듬

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

개요 QR 분해를 이용한 고유값 분석 알고리듬. QR 분해 그람-슈미트 방법을 행렬로 표현한 것이다. 예컨대 크기 $n \times n$인 실수 대칭행렬 $A$를 생각해보자: $$A = \left( \begin{array}{cccc} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \vec{a}_0 & \vec{a}_1 & \vec{a}_2 & \vdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array} \right)$$ $A$가 가지고 있는 열 벡터 $\vec{a}_0, \vec{a}_1, \vec{a}_2, \ldots$로부터 서로 직교하는 정규화된 벡터 $\vec{q}_0, \vec{q}_1, \vec{q}_2, \ldots$를 만들어내고자 한다. 즉 $\vec{q}_i \cdot \vec{q}_j = \delta_{ij}$$\delta_{ij}$$\left\{ \vec{q}_i \right\}$$$\begin{arra…

전산물리학:멱_방법

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

개요 $n \times n$ 행렬 $A$가 주어져 있을 때, 임의의 벡터 $\vec{v}$에 계속해서 $A$를 곱해나감으로써 절대값이 가장 큰 고유값과 그에 해당하는 고유 벡터를 구하는 방법. 설명 행렬 $A$가 고유값 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$을 가지고 이들이 절대값 크기 순으로 정렬되어 있다고 하자 ($\left| \lambda_1 \right| > \left| \lambda_2 \right| \ge \ldots \left| \lambda_n \right|$$\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n$$$A \vec{v}_i = \lambda_i \vec{v}_i$$$\vec{v}$$$\vec{v} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \cdots + c_n \vec{v}_n.$$$\vec{v}$$c_1 \neq 0$$A$$m$$$A^m \vec{v} = c_1 \lambda…

전산물리학:모멘트법

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2025-03-14T13:12:07+00:00

개요 미분방정식 $L\left[ \Psi(x) \right] = g(x)$가 있을 때, 적절한 기저함수의 집합 $\{u_n(x)\}$와 계수의 집합 $\{a_n\}$을 써서 $\Phi(x) \approx \sum_{n=1}^N a_n u_n(x)$로 근사하자. 적절한 가중치 함수 $\{w_m(x)\}$에 대해 내적을 취한 결과들이 일치되게끔 하여 계수 $\{a_n\}$을 찾을 수 있다. 즉 다음과 같은 내적이 있을 때 \begin{eqnarray*} \left< w_m(x), L\left[ \sum_{n=1}^N a_n u_n(x) \right] \right> &=& a_1 \left< w_m(x), L\left[ u_1(x) \right] \right> + a_2 \left< w_m(x), L\left[ u_2(x) \right] \right> + \ldots + a_N \left< w_m(x), L\left[ u_N(x) \right] \right>\\ &=& \left< w_…

전산물리학:몬테_카를로_적분법

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

개요 난수를 이용한 함수의 적분법이다. 몬테 카를로 적분법 다음과 같은 적분을 계산한다고 생각해보자. $$ I = \int_0^2\sin^2\left[\frac{1}{x(2-x)}\right]dx $$ 적분할 함수의 개형을 보면 양 끝 점으로 갈수록 무한히 가파르게 변하는 모습을 볼 수 있다. 반면, 함수의 그래프가 2$\times$$\times$$y$$N$$y$$k$$A$$I$$$ \frac{I}{A} \sim \frac{k}{N}$$$$ I \sim \frac{kA}{N} $$$ p = I/A $$ 1-p $$N$$k$$$ P(k) = \binom{N}{k}p^k(1-p)^{N-k} $$$$\text{var}~k = Np(1-p) = N\frac{I}{A}\left(1-\frac{I}{A}\right) $$$$ \sigma_N = \sqrt{\text{var}~k}\frac{A}{N} = \frac{\sqrt{I(A-I)}}{\sqrt{N}} $$$N$$1/\sqrt…

전산물리학:변분법

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2025-03-14T13:11:07+00:00

전자기학에서 경계 $\Gamma$로 둘러싸인 공간 $\Omega$에서 푸아송 방정식 $$\nabla^2 u = -f$$ 이 정의되어 있다. 디리클레 경계조건 $\left. u \right|_\Gamma = u_0$ 혹은 노이만 경계조건 $\left. \partial u / \partial n \right|_\Gamma = \nabla u \cdot \hat{n} = 0$이 만족된다고 가정한다. 이러한 $u$를 찾는 것은 다음 적분을 최소화하는 해 $u = \arg\min_{w} J\left[w\right]$$$J\left[w\right] \equiv \frac{1}{2} \int_\Omega \left| \nabla w \right|^2 - \int_\Omega f w ~dA.$$$w$$u$$v$$\left. v \right|_\Gamma = 0$\begin{eqnarray*} J\left[ u+v \right] &=& \frac{1}{2} \int_\Omega \left| \na…

전산물리학:선형_회귀_분석_linear_regression_analysis

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

선형 회귀 분석(Linear regression analysis)은 $x$와 $y$의 값을 알고 있을 때, $y = ax +b$의 꼴에서 $a$와 $b$의 값을 추측하는데 사용하는 방법이다. 데이터 포인트 하나만 가지고는 $a$와 $b$값을 추론할 수 없기 때문에 $x$에 대한 $y$$$ \mathbf{Y} = a\mathbf{X} + b $$$\mathbf{Y} = (y_1, y_2, y_3, \ldots)^\intercal$$\mathbf{X} = (x_1, x_2, x_3, \ldots)^\intercal$$\mathbf{Y}$$f(\mathbf{X})$$f(x)$$\chi^2$$f(x)$$$ \chi^2 = \sum_{i=1}^{N}\left(\frac{y_i - f(x_i)}{\sigma_i}\right)^2$$$$\text{Python:}\quad y = 2.09749(\pm 0.0771828)x + 0.838641(\pm 0.213449)$$$$\text{C++:}\qu…

전산물리학:압축_센싱

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-07-24T11:17:01+00:00

개요 섀넌-나이키스트 표본화 정리(Shannon-Nyquist sampling theorem)에 의하면, 신호의 최대 주파수가 B일 때 이를 온전히 재구성하려면 2B 이상의 주파수로 표본을 추출해야 한다.그런데 우리가 보는 대부분의 신호는 큰 패턴이 중요한 역할을 하므로 주파수 밀도 측면에서 희박(sparse)하고, 이를 이용하면 섀넌-나이키스트 표본화 정리가 요구하는 것보다 적은 수의 표본으로도 신호를 재구성할 수 있다. 이러한 아이디어는 Candès, Romberg, and Tao (2006)에 의해 정식화되었고 압축 센싱(compressed sensing)이라 불리고 있다.$N$$\mathbf{x}$$k\times N$$A$$k \ll N$$k$$\mathbf{y} = A \mathbf{x}$$A$$\mathbf{y}$$\mathbf{x}$$\mathbf{y}=A\mathbf{x}$$\mathbf{x}$$\mathbf{x}$$\sum_i |x_i|$$\mathbf{x}$$\m…

전산물리학:열풀림_시늉

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-01-09T15:18:39+00:00

최대 절단(max-cut) 문제 모든 노드가 한쪽에 몰려 있는 상황에서 시작해보자. 즉 모든 노드 $k$에 대해 side[k]=+1이다. 이때 목적함수의 값은 obj=0에서 출발한다. 노드 사이의 실선은 +1의 가중치, 점선은 -1의 가중치를 의미한다.$k=3$$k=3$$k=3$$k=3$$k=1$$k=3$$k=3$$k=3$$k$$k$$v$$v$$k$$w$$k=1$$k=1$$k=1$$k$$k$$v$$v$$k$$w$$k=3$

전산물리학:울프_군집_셈법_wolff_cluster_algorithm

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

울프 군집 셈법(Wolff cluster algorithm) 혹은 울프 셈법(Wolff algorithm)은 이징 모형(Ising model)에서 온도 $T$가 $T\neq0$일 때, T에 따라 스핀을 뒤집는 셈법으로 군집 셈법(cluster algorithm) 중 하나이다. 온도 $T$가 주어져 있고 외부 자기장이 없는 경우에 상호작용 세기를 $J=1$$k_B = 1$$1-exp(-2\beta J)$$1-exp(-2/T)$$\times$

전산물리학:유한요소법

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2025-09-30T09:48:11+00:00

개요 라플라스 방정식 혹은 푸아송 방정식과 같은 편미분방정식을 풀기 위해 전체 공간을 작은 요소들로 쪼개고 각각의 요소 안에서는 선형적으로 해가 변화한다고 가정한 후 전체적으로 $\nabla^2 V = -\rho / \epsilon$$$W = \frac{1}{2} \int \left[ \epsilon \left| \nabla V \right|^2 - 2\rho V \right] dS.$$$\rho=0$$V^{(e)}(x,y) = a + bx +cy$$V_1^{(e)}$$V_2^{(e)}$$V_3^{(e)}$$a$$b$$c$$$\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x_1 & y_1\\ 1 & x_2 & y_2\\ 1 & x_3 & y_3 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} V_1^{(e)}\\ V_2^{(e)}\\ V_3^{(e)} \end{pmatrix}. $$$(x,y)$$$V^…

전산물리학:입실론_기계

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

개요 입실론 기계(epsilon machine)은 시계열의 패턴을 찾기 위해 개발된 방법이다. 주어진 과거들에 대해 앞으로 나올 기호의 확률 분포를 보고 통계적으로 충분히 비슷할 경우 묶어서 하나의 '상태'로 간주한다는 것이 핵심 아이디어이다. '상태'들과 그 상태들 간의 전이확률은 시계열로부터 추출되며, 이런 전이의 모형들 중 정보 관점에서 가장 단순한 모형을 선택한다.$10^4$$L_\text{max}=3$$\emptyset$$A=\{ \emptyset \}$$A$$A$$B=\{0\}$$A$$B$$C=\{1\}$$A=\{\emptyset\}$$A$$A$$B=\{0\}$$C=\{1\}$$B$$B=\{0,00\}$$D=\{01\}$$B$$B=\{0,00,10\}$$E=\{11\}$$C=\{1\}$$C$$B=\{0,00,10\}$$D=\{01\}$$E=\{11\}$$P(1|000) = 422/836 = 50.5\% \longrightarrow B=\{0,00,10,000\}$$P(1…

전산물리학:전산물리교재개발

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

김범준, 백승기, 손승우 교수가 전산물리 교재를 개발하기 위한 모임을 위한 페이지 입니다. 사용언어 Python2 (Python3는 목차 PartI. Python install (기본 패키지 + matplotlib + numpy + scipy + networkx + (3차원 vpython?)

전산물리학:주성분_분석

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

: 개요 주성분 분석(principal component analysis)란 데이터를 독립적인 성분들로 분해하는 기법이다. 분산이 큰 방향부터 순서대로 주축(principal axis)를 구한 다음, 몇 개의 주축들만을 사용해 데이터를 압축해서 표현할 수 있다.$N$$M$$n$$[R_{1n}, \ldots, R_{Mn}]^T$$M \times N$$R$$\mu_m = N^{-1} \sum_n R_{mn}$$X$\begin{equation} X = \begin{pmatrix} R_{11} - \mu_1 & \ldots & R_{1N} - \mu_1\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ R_{M1}-\mu_M & \ldots & R_{MN}-\mu_M \end{pmatrix}. \end{equation}$M \times M$\begin{eqnarray} Q &=& \frac{1}{N-1} XX^T\\ &=& \frac{1}{N-1} \begin{pmatrix} X_{…

전산물리학:평균값_방법

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T15:46:55+00:00

개요 함수의 평균값 정의와 난수를 이용한 수치적분법 평균값 방법 어떤 함수 $f(x)$의 구간 $a,~b$ 사이의 적분을 나타내는 식은 다음과 같다. $$ I = \int_a^bf(x)dx $$ 이것을 수치적 방법으로 구하기 위해 함수의 평균값 정의식을 이용할 수 있다. 함수의 평균값 정의식은$$ \langle f\rangle = \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx = \frac{I}{b-a} $$$$ I = (b-a)\langle f\rangle $$$\langle f\rangle$$I$$\langle f\rangle$$\langle f\rangle$$a,~b$$N$$x_1,\ldots,x_N$$\langle f\rangle \approx N^{-1}\sum_{i=1}^Nf(x_i)$$$ I \approx \frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^{N}f(x_i) $$…