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물리:소성_사건_plastic_event_의_전파_인자_propagator [2023/04/18 13:27] – minwoo | 물리:소성_사건_plastic_event_의_전파_인자_propagator [2023/09/05 15:46] – external edit 127.0.0.1 | ||
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Line 1: | Line 1: | ||
====== Oseen tensors ====== | ====== Oseen tensors ====== | ||
- | ==== 레이놀즈 수 (Reynolds number) ==== | + | ===== 레이놀즈 수 (Reynolds number) |
- | ' | + | ' |
$$ | $$ | ||
- | \rho \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + \rho \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u} = - \nabla p + \mu \nabla ^2 \boldsymbol{u} + f_{ext} | + | \rho \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \rho \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} = - \nabla p + \mu \nabla ^2 \mathbf{u} + f_{ext} |
$$ | $$ | ||
- | $p$는 압력이다. $\rho \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u}$의 항은 관성 항(inertial term)이며, | + | $p$는 압력이다. $\rho \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}$의 항은 관성 항(inertial term)이며, |
특성 속도의 크기가 $U_0$이며 그 속도에 대한 특성 길이의 크기를 $L$이라고 할 때, 각 항들은 다음과 같이 근사가 될 수 있다. | 특성 속도의 크기가 $U_0$이며 그 속도에 대한 특성 길이의 크기를 $L$이라고 할 때, 각 항들은 다음과 같이 근사가 될 수 있다. | ||
$$ | $$ | ||
- | \rho \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u} \approx \rho \frac{U_0 ^2}{L}, \ \ \mu \nabla ^2 \boldsymbol{u} \approx \frac{\mu U_0}{L^2} | + | \rho \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \approx \rho \frac{U_0 ^2}{L}, \ \ \mu \nabla ^2 \mathbf{u} \approx \frac{\mu U_0}{L^2} |
$$ | $$ | ||
Line 25: | Line 25: | ||
레이놀즈 수가 큰 값일 경우에는 점도가 낮은 경우이고, | 레이놀즈 수가 큰 값일 경우에는 점도가 낮은 경우이고, | ||
- | 즉, $Re \ll 1 $으로서 | + | 즉, $Re \ll 1 $으로서 |
- | 또한, 그 경우에 유속의 변화율인 $\rho \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} \approx \rho \frac{U_0 ^2}{L}$의 항도 무시할 수 있으므로 | + | 또한, 그 경우에 유속의 변화율인 $\rho \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} \approx \rho \frac{U_0 ^2}{L}$의 항도 무시할 수 있으므로 |
나비에-스토크스 방정식은 다음과 같이 표현된다. | 나비에-스토크스 방정식은 다음과 같이 표현된다. | ||
$$ | $$ | ||
- | -\nabla p(\boldsymbol{r}) + \mu \nabla ^2 \boldsymbol{u(r)} = -\boldsymbol{F}\delta(\boldsymbol(r)), \\ | + | -\nabla p(\mathbf{r}) + \mu \nabla ^2 \mathbf{u(r)} = -\mathbf{F}\delta(\mathbf(r)), \\ |
- | \nabla \cdot \boldsymbol{u} = 0. | + | \nabla \cdot \mathbf{u} = 0. |
$$ | $$ | ||
- | 여기서 $\boldsymbol{F}$는 점성이 있는 액체(viscous liquid)에 담겨져 있는 하나의 점 입자에 작용되는 힘이다. | + | 여기서 $\mathbf{F}$는 점성이 있는 액체(viscous liquid)에 담겨져 있는 하나의 점 입자에 작용되는 힘이다. |
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- | $\boldsymbol{u(r)}$에서 $\boldsymbol{r}$이 무한하면 $0$의 값으로 사라져야 한다면 ($\lim_{r \to \infty} |\boldsymbol{u(r)}| = 0$), 해 $\boldsymbol{u(r)}$은 유일하게 결정되어야 한다. | + | $\mathbf{u(r)}$에서 $\mathbf{r}$이 무한하면 $0$의 값으로 사라져야 한다면 ($\lim_{r \to \infty} |\mathbf{u(r)}| = 0$), 해 $\mathbf{u(r)}$은 유일하게 결정되어야 한다. |
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- | ==== $p(\boldsymbol{r}), \ \boldsymbol{v(r)}$ ==== | + | ===== $p(\mathbf{r}), \ \mathbf{u(r)}$ ===== |
- | 위에서 $f_{ext}=\boldsymbol{F}\delta(\boldsymbol(r))$라고 설정한 것에 따라, 해의 형태를 다음과 같이 가정하자. | + | 위에서 $f_{ext}=\mathbf{F}\delta(\mathbf{r})$라고 설정한 것에 따라, 해의 형태를 다음과 같이 가정하자. |
- | $$ p(\boldsymbol{r}) = \frac{\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{P(r)}}{8\pi \mu}, \ \ \boldsymbol{v(r)} = \frac{\mathbb{G}(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{F}}{8\pi \mu} $$ | + | $$ p(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F} \cdot \mathbf{P(r)}}{8\pi \mu}, \ \ \mathbf{u(r)} = \frac{\mathbb{G}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{F}}{8\pi \mu} $$ |
- | 이때 $\boldsymbol{P(r)}$은 어떤 벡터장이며, | + | 이때 $\mathbf{P(r)}$은 어떤 벡터장이며, |
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Line 55: | Line 55: | ||
$$ | $$ | ||
- | p(\boldsymbol{r}) = \frac{P_j F_j}{8\pi \mu}, \ \ v_i(\boldsymbol{r}) = \frac{\mathbb{G}_{ij} F_j}{8\pi \mu} | + | p(\mathbf{r}) = \frac{P_j F_j}{8\pi \mu}, \ \ u_i(\mathbf{r}) = \frac{\mathbb{G}_{ij} F_j}{8\pi \mu} |
$$ | $$ | ||
- | 그리고, 앞서 살펴본 나비에-스토크스 방정식 | + | 그리고, 앞서 살펴본 나비에-스토크스 방정식을 |
- | 푸리에 변환을 이용하여 | + | $$\\$$ |
+ | 우선, | ||
$$ | $$ | ||
- | -i \boldsymbol{k} \hat{p} - \mu k^2 \hat{v} = -\boldsymbol{F}. | + | \mathcal{F}\{f \} = \hat{f} (\mathbf{k}) = \int_{\mathbb{R}^3} d\mathbf{r} f(\mathbf{r}) e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}, \\ |
+ | |||
+ | \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f} \} = f(\mathbf{r}) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} d\mathbf{k} \hat{f}(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} | ||
+ | $$ | ||
+ | 위의 변환 식에 따라서, 도함수의 푸리에 변환에 대한 간단한 결과를 다음과 같이 얻을 수 있다. | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \frac{d}{d\mathbf{r}} f(\mathbf{r}) = i\mathbf{k} \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} d\mathbf{k} | ||
+ | |||
+ | \to \mathcal{F}\{\frac{d}{d\mathbf{r}} f(\mathbf{r}) \} = i \mathbf{k} \mathcal{F}\{f\} | ||
$$ | $$ | ||
$$\\$$ | $$\\$$ | ||
- | 참고로, 푸리에 변환의 쌍(Fourier transform pair)은 다음과 같다. | + | 따라서, 나비에-스토크스 방정식인 $ -\nabla p(\mathbf{r}) + \mu \nabla ^2 \mathbf{u(r)} = -\mathbf{F}\delta(\mathbf{r}) $을 다음과 같이 고칠 수 있다. |
$$ | $$ | ||
- | \mathcal{F}\{f \} = \hat{f} (\boldsymbol{k}) = \int_{\mathbb{R}^3} d\boldsymbol{r} f(\boldsymbol{r}) e^{-i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}}, \\ | + | -i \mathbf{k} \hat{p} - \mu k^2 \hat{u} = -\mathbf{F}. |
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | 위의 식에, 가정했던 $p(\mathbf{r})$과 $u(\mathbf{r})$의 해의 형태를 대입하고 성분 형태로 고치면 다음과 같다. | ||
- | \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f} \} = f(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} d\boldsymbol{k} \hat{f}(\boldsymbol{k}) e^{i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}} | ||
$$ | $$ | ||
- | 위의 변환 식에 따라서, 도함수의 푸리에 변환에 대한 간단한 결과를 다음과 같이 얻을 | + | -ik_i \frac{\hat{P}_j}{8\pi \mu} F_j - k^2 \frac{\hat{\mathbb{G}_{ij}}}{8\pi} F_j = -F_i = -F_j \delta_{ij}. |
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | 마지막 항에서 | ||
$$ | $$ | ||
- | \frac{d}{d\boldsymbol{r}} f(\boldsymbol{r}) = i\boldsymbol{k} \frac{1}{(2 \pi)^3} | + | -ik_i \frac{\hat{P}_j}{8\pi \mu} - k^2 \frac{\hat{\mathbb{G}_{ij}}}{8\pi} = -\delta_{ij}. |
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | 여기에, 비압축성(incompressibility) 조건인 $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$을 다음과 같이 푸리에 공간에 대해서 적용할 수 있다. | ||
+ | |||
+ | $$ k_i \mathbb{G}_{ij}=0. $$ | ||
+ | |||
+ | (위의 식은 $\mathbf{u(r)} = \frac{\mathbb{G}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{F}}{8\pi \mu}$의 식을 참고하고 발산(divergence)의 공식을 참고하면 확인할 수 있다.) | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 따라서, 양변에 $k_i$를 곱해주고 합 규약을 적용하면 다음과 같은 식을 얻는다. | ||
- | \to \mathcal{F}\{\frac{d}{d\boldsymbol{r}} f(\boldsymbol{r}) \} = i \boldsymbol{k} \mathcal{F}\{f\} | + | $$ |
+ | -ik^2 \frac{\hat{P}_j}{8\pi \mu} = -k_i\delta_{ij} = -k_j \\ | ||
+ | \to \frac{\hat{P}_j}{8\pi \mu} = -\frac{ik_j}{k^2}. | ||
$$ | $$ | ||
+ | |||
+ | 이를 앞서 얻은 $-ik_i \frac{\hat{P}_j}{8\pi \mu} - k^2 \frac{\hat{\mathbb{G}_{ij}}}{8\pi} = -\delta_{ij}$ 의 식에 대입하여 다음과 같이 $\hat{\mathbb{G}}_{ij}$의 식을 얻는다. | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | -\frac{k_ik_j}{k^2} - k^2 \frac{\hat{\mathbb{G}}_{ij}}{8\pi} =-\delta_{ij}\\ | ||
+ | |||
+ | \to \frac{\hat{\mathbb{G}}_{ij}}{8\pi}=\frac{\delta_{ij}}{k^2} | ||
+ | -\frac{k_ik_j}{k^4} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 이때, 위의 결과에 대해서 다음을 'Oseen tensor' | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \hat{\mathbf{O}}(\mathbf{k})=\frac{\hat{\mathbb{G}}}{8\mu\pi}=\frac{1}{\mu k^2}\left(\mathbf{I}-\frac{\mathbf{k}\mathbf{k}}{k^2}\right) | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | 편의상 $\mathbf{k}$를 $\mathbf{q}$로 표기하면, | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \hat{\mathbf{O}}(\mathbf{q}) =\frac{1}{\mu q^2}\left(\mathbf{I}-\frac{\mathbf{q}\mathbf{q}}{q^2}\right) | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ==== $P(\boldsymbol{r})$ ==== | ||
+ | |||
+ | 앞서 얻은 $\hat{P_j}$식을 푸리에 역변환 해주면 원 좌표에 대한 $P_j$의 식도 얻을 수 있다. | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \frac{P_j}{8\pi \mu} = \frac{-i}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} d\boldsymbol{k} \frac{k_j}{k^2} e^{i \boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | 위의 벡터 성분 표기의 의미는, 다음의 푸리에 역변환을 계산한 뒤 | ||
+ | $$ | ||
+ | \mathcal{F}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{k^2} \Bigr\} = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} d\boldsymbol{k} \frac{1}{k^2} e^{i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | 그의 \mathbf{r}에 대한 기울기(gradient)를 계산하는 것과 같다. | ||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | |||
+ | 이때, (좌표축을 적절히 선택하면) $\lim_{\lambda \to 0}\mathcal{F}^{-1}\{e^{-\lambda r}k^{-2} \} = \mathcal{F}^{-1}\{k^{-2}\}=\frac{1}{4\pi r}$인 것을 다음과 같이 확인할 수 있다. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{align} | ||
+ | \mathcal{F}{\Bigl\{ e^{-\lambda r}\frac{1}{4\pi r} \Bigr\} } & | ||
+ | &= \frac{1}{2} \int_0 ^{\pi} \int_0 ^{\infty} \left(e^{-\lambda r} e^{-ikr\cos\theta} \right)r \sin\theta \ dr d\theta \\ | ||
+ | &= \frac{1}{2} \int_{-1} ^{1} \int_0 ^{\infty} r\left( e^{-\lambda r}e^{-ikru} \right) \ dr du \\ | ||
+ | &= \frac{1}{2} \int_0 ^{\infty}r e^{-\lambda r}\left[\frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{ikr} \right] \ dr \\ | ||
+ | |||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | \end{align} | ||
$$\\$$ | $$\\$$ | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | \lim_{\lambda \to 0}\mathcal{F}{\Bigl\{ e^{-\lambda r}\frac{1}{4\pi r} \Bigr\} } | ||
+ | & | ||
+ | &= \frac{1}{2ik} \left[ | ||
+ | & | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | 따라서, $P_j$를 다음과 같이 구할 수 있다. | ||
+ | $$ | ||
+ | \frac{P_j}{8\pi \mu} = -\nabla \mathcal{F}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{k^2}\Bigr\}=-\nabla \left(\frac{1}{4\pi r}\right) | ||
+ | \\ | ||
+ | \to P_j = -2\mu \nabla\left(\frac{1}{r}\right) | ||
+ | $$ | ||
+ |