Oseen tensors

'비압축성'을 갖는 흐름(incompressible flow, $\nabla \cdot \boldsymbol{u}=0$)에 대한 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 다음과 같다.

$$ \rho \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + \rho \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u} = - \nabla p + \mu \nabla ^2 \boldsymbol{u} + f_{ext} $$

$p$는 압력이다. $\rho \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u}$의 항은 관성 항(inertial term)이며, $\mu \nabla ^2 \boldsymbol{u}$는 점성 항(viscous term)으로서

특성 속도의 크기가 $U_0$이며 그 속도에 대한 특성 길이의 크기를 $L$이라고 할 때, 각 항들은 다음과 같이 근사가 될 수 있다.

$$ \rho \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u} \approx \rho \frac{U_0 ^2}{L}, \ \ \mu \nabla ^2 \boldsymbol{u} \approx \frac{\mu U_0}{L^2} $$

$$ \\ $$ 이때, 레이놀즈 수 (Reynolds number)는 다음과 같이 '점도 항에 대한 관성 항의 비'로 정의 된다.

$$ Re = \frac{\rho U_0^2 / L}{\mu U_0 / L^2} = \frac{\rho U_0 L}{\mu}$$

$$ \\ $$

레이놀즈 수가 큰 값일 경우에는 점도가 낮은 경우이고, 작은 값인 경우에는 점도가 높은 경우이다.

즉, $Re \ll 1 $으로서 점도가 높은 경우인 층류(laminar flow)로 흐름을 가정한다면, $\rho \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u}$의 항은 근사적으로 무시할 수 있다.

또한, 그 경우에 유속의 변화율인 $\rho \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} \approx \rho \frac{U_0 ^2}{L}$의 항도 무시할 수 있으므로

나비에-스토크스 방정식은 다음과 같이 표현된다.

$$ -\nabla p(\boldsymbol{r}) + \mu \nabla ^2 \boldsymbol{u(r)} = -\boldsymbol{F}\delta(\boldsymbol(r)), \\ \nabla \cdot \boldsymbol{u} = 0. $$

여기서 $\boldsymbol{F}$는 점성이 있는 액체(viscous liquid)에 담겨져 있는 하나의 점 입자에 작용되는 힘이다.

$$\\$$

$\boldsymbol{u(r)}$에서 $\boldsymbol{r}$이 무한하면 $0$의 값으로 사라져야 한다면 ($\lim_{r \to \infty} |\boldsymbol{u(r)}| = 0$), 해 $\boldsymbol{u(r)}$은 유일하게 결정되어야 한다.

$$\\$$

위에서 $f_{ext}=\boldsymbol{F}\delta(\boldsymbol(r))$라고 설정한 것에 따라, 해의 형태를 다음과 같이 가정하자.

$$ p(\boldsymbol{r}) = \frac{\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{P(r)}}{8\pi \mu}, \ \ \boldsymbol{v(r)} = \frac{\mathbb{G}(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{F}}{8\pi \mu} $$

이때 $\boldsymbol{P(r)}$은 어떤 벡터장이며, $\mathbb{G}(\boldsymbol{r})$은 힘 $\boldsymbol{F}$(point force)에 적용되는 텐서이다.

$$\\$$ 아인슈타인의 합 규약에 따라, 위의 식을 벡터 성분 표현으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ p(\boldsymbol{r}) = \frac{P_j F_j}{8\pi \mu}, \ \ v_i(\boldsymbol{r}) = \frac{\mathbb{G}_{ij} F_j}{8\pi \mu} $$

그리고, 앞서 살펴본 나비에-스토크스 방정식 $ -\nabla p(\boldsymbol{r}) + \mu \nabla ^2 \boldsymbol{u(r)} = -\boldsymbol{F}\delta(\boldsymbol(r)) $을

푸리에 변환을 이용하여 다음과 같이 고친다.

$$ -i \boldsymbol{k} \hat{p} - \mu k^2 \hat{v} = -\boldsymbol{F}. $$

$$\\$$ 참고로, 푸리에 변환의 쌍(Fourier transform pair)은 다음과 같다.

$$ \mathcal{F}\{f \} = \hat{f} (\boldsymbol{k}) = \int_{\mathbb{R}^3} d\boldsymbol{r} f(\boldsymbol{r}) e^{-i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}}, \\ \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f} \} = f(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} d\boldsymbol{k} \hat{f}(\boldsymbol{k}) e^{i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}} $$ 위의 변환 식에 따라서, 도함수의 푸리에 변환에 대한 간단한 결과를 다음과 같이 얻을 수 있다.

$$ \frac{d}{d\boldsymbol{r}} f(\boldsymbol{r}) = i\boldsymbol{k} \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} d\boldsymbol{k} \hat{f}(\boldsymbol{k}) e^{i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}} = i\boldsymbol{k} \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f} \} \\ \to \mathcal{F}\{\frac{d}{d\boldsymbol{r}} f(\boldsymbol{r}) \} = i \boldsymbol{k} \mathcal{F}\{f\} $$

$$\\$$