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배규호:복소해석에서의_유용한_정리와_삼각함수_계산_정리 [2018/02/03 14:46] – created bekuho | 배규호:복소해석에서의_유용한_정리와_삼각함수_계산_정리 [2018/02/03 15:06] – bekuho | ||
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$$\prod_{k=1}^{n} z_{k} = \prod_{k=1}^{n} r_{k} \Big[ \cos{\big(\sum_{j=1}^{n} \theta_{j}\big)} + i\sin{\big(\sum_{l=1}^{n} \theta_{l}\big)} \Big]$$ | $$\prod_{k=1}^{n} z_{k} = \prod_{k=1}^{n} r_{k} \Big[ \cos{\big(\sum_{j=1}^{n} \theta_{j}\big)} + i\sin{\big(\sum_{l=1}^{n} \theta_{l}\big)} \Big]$$ | ||
+ | |||
+ | 만약 $ z_1 = z_2 = \dots = z_n $ 이면 위의 정리는 $z^{n}$ 에 대한 정리가 된다. | ||
+ | $$ $$ | ||
===예제 : 곱셈에 대한 항등원( 숫자 1 ) 에 대한 n제곱근=== | ===예제 : 곱셈에 대한 항등원( 숫자 1 ) 에 대한 n제곱근=== | ||
+ | $$ $$ | ||
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- | $$ z^{n} = 1, 1 = e^{2i\pi + 2ik\pi $$ | + | $$ z^{n} = 1,\: 1 = e^{2i\pi + 2ik\pi} $$ |
을 만족하는 $z$ 들을 항등원의 n제곱근이라고 하자. | 을 만족하는 $z$ 들을 항등원의 n제곱근이라고 하자. | ||
- | $$ z = e^{i\frac{2\pi}{n}} \equiv | + | z 를 $z = re^{i\theta}$ 라 표현할 때 $ \theta_1 = \dots = \theta_n $ 이고 $ r = 1$ 이므로 De Moivre 정리에 따르면 $\prod_{1}^{n} z = e^{in\theta} $ 이고 $ n\theta = 2i\pi (1+k) $ 이기 때문에 다음의 결과를 얻는다. |
+ | |||
+ | $$ z = \exp{(i\frac{2k\pi}{n})}, \: k = 0, | ||
+ | |||
- | De Moivre 정리를 이용하여 $z$을 다시 쓰면 | + | ====== Schwartz' |
+ | $$\Big|\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\Big| \geq \Big(\sum_{k=1}^{n} |a_{k}^{2}|\Big)\Big(\sum_{k=1}^{n} |b_{k}^{2}|\Big) $$ | ||