| Next revision | Previous revision |
| 김민재:스터디:임계현상:3장._가우스_근사 [2017/07/03 09:18] – created minjae | 김민재:스터디:임계현상:3장._가우스_근사 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 |
|---|
| $$\sigma^{2}\equiv\boldsymbol\sigma(\boldsymbol x)\cdot\boldsymbol\sigma(\boldsymbol x)\equiv\sum_{i=1}^{n}(\sigma_{i}(x))^{2},$$ | $$\sigma^{2}\equiv\boldsymbol\sigma(\boldsymbol x)\cdot\boldsymbol\sigma(\boldsymbol x)\equiv\sum_{i=1}^{n}(\sigma_{i}(x))^{2},$$ |
| $$\sigma^{2}\equiv(\sigma^{2})^{2},$$ | $$\sigma^{2}\equiv(\sigma^{2})^{2},$$ |
| $$(\nabla\sigma)^{2}\equiv\sum_{\alpha=1}^{d}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial\alpha_{i}}{{\partial x_{\alpha}}\right)^{2}.$$ | $$(\nabla\sigma)^2\equiv\sum_{\alpha=1}^d\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial\alpha_i}{\partial x_\alpha}\right)^2.$$ |
| |
| 계수 $a_{0},\,a_{2},\,a_{4},\,c$는 온도 $T$의 함수이고 $\boldsymbol h$는 외부에서 걸어준 자기장을 온도 $T$로 나눈 것이다. | 계수 $a_{0},\,a_{2},\,a_{4},\,c$는 온도 $T$의 함수이고 $\boldsymbol h$는 외부에서 걸어준 자기장을 온도 $T$로 나눈 것이다. |
| \begin{split} | \begin{split} |
| \frac{H(\sigma)}{T}&=a_{0}L^{d}+\sum_{k<\Lambda}\boldsymbol\sigma_{\boldsymbol k}\cdot\boldsymbol\sigma_{-\boldsymbol k}(a_{2}+ck^{2}) \\ | \frac{H(\sigma)}{T}&=a_{0}L^{d}+\sum_{k<\Lambda}\boldsymbol\sigma_{\boldsymbol k}\cdot\boldsymbol\sigma_{-\boldsymbol k}(a_{2}+ck^{2}) \\ |
| &+L^{-d}\sum_{k,k^{\prim},k^{\prime\prime}<\Lambda}a_{4}(\boldsymbol\sigma_{\boldsymbol k}\cdot\boldsymbol\sigma_{\boldsymbol k^{\prime}})(\boldsymbol\sigma_{\boldsymbol k^{\prime\prime}}\cdot\boldsymbol\sigma_{-\boldsymbol k -\boldsymbol k^{\prime} -\boldsymbol k^{\prime\prime}}) \\ | &+L^{-d}\sum_{k,k^{\prime},k^{\prime\prime}<\Lambda}a_{4}(\boldsymbol\sigma_{\boldsymbol k}\cdot\boldsymbol\sigma_{\boldsymbol k^{\prime}})(\boldsymbol\sigma_{\boldsymbol k^{\prime\prime}}\cdot\boldsymbol\sigma_{-\boldsymbol k -\boldsymbol k^{\prime} -\boldsymbol k^{\prime\prime}}) \\ |
| &+L^{d/2}\boldsymbol\sigma_{0}\cdot\boldsymbol k | &+L^{d/2}\boldsymbol\sigma_{0}\cdot\boldsymbol k |
| \end{split} | \end{split} |
| $$\frac{H[\sigma]}{T}\cong a_{0}L^{d}+\sum_{k<\Lambda}\sum_{i=1}^{n}(a_{2}+ck^{2})|\sigma_{i\boldsymbol k}|^{2}$$ | $$\frac{H[\sigma]}{T}\cong a_{0}L^{d}+\sum_{k<\Lambda}\sum_{i=1}^{n}(a_{2}+ck^{2})|\sigma_{i\boldsymbol k}|^{2}$$ |
| 가우스 근사에서 해밀토니안 형태와 비교해보면 $\lambda^{-2}$를 다음과 같이 정의할 수 있다. | 가우스 근사에서 해밀토니안 형태와 비교해보면 $\lambda^{-2}$를 다음과 같이 정의할 수 있다. |
| $$\frac{1}{2}\lambda^{-2}\euqiv a_{2}+ck^{2}$$ | $$\frac{1}{2}\lambda^{-2}\equiv a_{2}+ck^{2}$$ |
| 이제 $\boldsymbol\sigma_{i\boldsymbol k}$이 위의 가우스 근사에서의 $q_{l}^{\prime}$의 역할을 하므로 | 이제 $\boldsymbol\sigma_{i\boldsymbol k}$이 위의 가우스 근사에서의 $q_{l}^{\prime}$의 역할을 하므로 |
| $$ \langle\boldsymbol \sigma_{i\boldsymbol k}\rangle=0,$$ | $$ \langle\boldsymbol \sigma_{i\boldsymbol k}\rangle=0,$$ |
| $$ G(k)=\langle|\boldsymbol\sigma_{i\boldsymbol k}|\rangle^{2}=\frac{1}{2}(a_{2}+ck)^{-1},$$ | $$ G(k)=\langle|\boldsymbol\sigma_{i\boldsymbol k}|\rangle^{2}=\frac{1}{2}(a_{2}+ck)^{-1},$$ |
| $$FL^{d}=a_{0}L^{d}-\frac{1}{2}T\sum_{k<\Lambda}n\ln\left[\frac{\pi}{(a_{2}+ck^{2})\right]\quad(F\equiv\frac{f}{L^{d}})$$ | $$FL^d=a_0L^d-\frac{1}{2}T\sum_{k<\Lambda}n\ln\left[\frac{\pi}{(a_2+ck^2)}\right]\quad\left(F\equiv\frac{f}{L^d}\right)$$ |
| 이 된다. 앞서, $a_{2}=a_{2}^{\prime}(T-T_{c})$라 두었기 때문에 | 이 된다. 앞서, $a_{2}=a_{2}^{\prime}(T-T_{c})$라 두었기 때문에 |
| $$\lim_{T\rightarrow T_{c}}G(k)\propto k^{-2},$$ | $$\lim_{T\rightarrow T_{c}}G(k)\propto k^{-2},$$ |
| \begin{equation}\notag | \begin{equation}\notag |
| \begin{split} | \begin{split} |
| C&\equiv -T\left(\frac{\partial^{2}F}{\partial T^{2}}\right) \\ | C&\equiv -T\left(\frac{\partial^2F}{\partial T^2}\right) \\ |
| &=\frac{a_{2}^{\prime}^{2}}{2}T^{2}n(2\pi)^{-d}\int d^{d}k(a_{2}+ck^{2})^{-2}+l.s | &=\frac{{a_2}^{\prime~2}}{2}T^2n(2\pi)^{-d}\int d^dk(a_2+ck^2)^{-2}+l.s |
| \end{split} | \end{split} |
| \end{equation} | \end{equation} |
| \begin{equation}\notag | \begin{equation}\notag |
| \begin{split} | \begin{split} |
| C&=n\left[\frac{a_{2}^{\prime}^{2}}{2}T^{2}(2\pi)^{-d}\int d^{d}k(a_{2}+ck^{2})^{-2}\right]+l.s \\ | C&=n\left[\frac{{a_2}^{\prime~2}}{2}T^2(2\pi)^{-d}\int d^dk(a_2+ck^2)^{-2}\right]+l.s \\ |
| &=n\left[\frac{a_{2}^{\prime}^{2}}{2}T^{2}(2\pi)^{-d}\int d^{d}\left(\frac{k^{\prime}}{\xi}\right)(c\xi^{-2}+ck^{\prime}^{2}\xi^{-2})^{2}\right]+l.s \\ | &=n\left[\frac{{a_2}^{\prime~2}}{2}T^{2}(2\pi)^{-d}\int d^{d}\left(\frac{k^\prime}{\xi}\right)(c\xi^{-2}+ck^{\prime}^{2}\xi^{-2})^{2}\right]+l.s \\ |
| &=n\left[\frac{1}{2}(Ta_{2}^{\prime})^{2}(2\pi)^{-d}c^{-2}\int d^{d}k^{\prime}(1+k^{\prime}^{2})^{-2}\right]\xi^{4-d}+l.s \\ | &=n\left[\frac{1}{2}(T{a_2}^\prime)^2(2\pi)^{-d}c^{-2}\int d^dk^\prime(1+k^{\prime~2})^{-2}\right]\xi^{4-d}+l.s \\ |
| &\equiv C_{0}\xi^{4-d}+l.s | &\equiv C_0\xi^{4-d}+l.s |
| \end{split} | \end{split} |
| \end{equation} | \end{equation} |
| 지금까지 구한 임계지수 $\gamma=1,\,\eta=0,\,\alpha=2-\frac{d}{2}$에서 계수 $a_{0},\,a_{2}^{\prime},\,a_{4},\,c$가 나타나지 않으므로 이 임계지수들은 해밀토니안의 구체적인 형태에 대해 독립적임을 알 수 있다. | 지금까지 구한 임계지수 $\gamma=1,\,\eta=0,\,\alpha=2-\frac{d}{2}$에서 계수 $a_{0},\,a_{2}^{\prime},\,a_{4},\,c$가 나타나지 않으므로 이 임계지수들은 해밀토니안의 구체적인 형태에 대해 독립적임을 알 수 있다. |
| ===== 주어진 온도가 임계온도보다 작은 경우 ===== | ===== 주어진 온도가 임계온도보다 작은 경우 ===== |
| $T<T_{c}$이므로 $a_{2}<0$임을 의미한다. 이 경우, $h\rightarrow0$이더라도 $\dilde\sigma=0$이 아니다. 외부 자기장 $h$가 $0$이 아닌 아주 작은 크기로 한 쪽 방향의 성분만 가진다고 생각혀며 이 방향을 $1$ 방향이라고 하자. 그러므로 | $T<T_{c}$이므로 $a_{2}<0$임을 의미한다. 이 경우, $h\rightarrow0$이더라도 $\tilde\sigma=0$이 아니다. 외부 자기장 $h$가 $0$이 아닌 아주 작은 크기로 한 쪽 방향의 성분만 가진다고 생각혀며 이 방향을 $1$ 방향이라고 하자. 그러므로 |
| $$(\tilde\sigma_1)_{\boldsymbol k=0} =L^{d/2}\bar\sigma,\quad\boldsymbol{\bar\sigma}=\boldsymbol{m}=\hat{\boldsymbol{h}}m_o+\boldsymbol{h}/(8a_4m_o^2)$$ | $$(\tilde\sigma_1)_{\boldsymbol k=0} =L^{d/2}\bar\sigma,\quad\boldsymbol{\bar\sigma}=\boldsymbol{m}=\hat{\boldsymbol{h}}m_o+\boldsymbol{h}/(8a_4m_o^2)$$ |
| 이고 $k\neq0$ 또는 $i\neq1$일 때 $\tilde\sigma_{i\boldsymbol{k}}=0$이다. 긴즈버그 란다우 모형을 $(\boldsymbol{\sigma}-\boldsymbol{\tilde\sigma})^2$까지 테일러 전개하고 $\boldsymbol\sigma(\boldsymbol{x})=L^{-d/2}\sum\limits_{k<\Lambda}\boldsymbol{\sigma}_{\boldsymbol{k}}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}$을 대입한 식을 이용하면 긴즈버그 란다우 모형의 해밀토니안을 아래처럼 쓸 수 있다. | 이고 $k\neq0$ 또는 $i\neq1$일 때 $\tilde\sigma_{i\boldsymbol{k}}=0$이다. 긴즈버그 란다우 모형을 $(\boldsymbol{\sigma}-\boldsymbol{\tilde\sigma})^2$까지 테일러 전개하고 $\boldsymbol\sigma(\boldsymbol{x})=L^{-d/2}\sum\limits_{k<\Lambda}\boldsymbol{\sigma}_{\boldsymbol{k}}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}$을 대입한 식을 이용하면 긴즈버그 란다우 모형의 해밀토니안을 아래처럼 쓸 수 있다. |