긴즈버그-란다우 모형은 시스템의 해밀토니안이 다음과 같이 적힐 수 있음을 가정하는 것이다. $$\frac{H[\sigma]}{T}=\int d^{d}x[a_{0}+a_{2}\sigma^{2}+a_{4}\sigma^{4}+c(\nabla\sigma)^{2}-\boldsymbol h\cdot\boldsymbol\sigma]$$ 여기서 $\sigma^{2},\,\sigma^{2},\,(\nabla\sigma)^{2}$는 다음과 같이 정의된다.

$$\sigma^{2}\equiv\boldsymbol\sigma(\boldsymbol x)\cdot\boldsymbol\sigma(\boldsymbol x)\equiv\sum_{i=1}^{n}(\sigma_{i}(x))^{2},$$ $$\sigma^{2}\equiv(\sigma^{2})^{2},$$ $$(\nabla\sigma)^2\equiv\sum_{\alpha=1}^d\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial\alpha_i}{\partial x_\alpha}\right)^2.$$

계수 $a_{0},\,a_{2},\,a_{4},\,c$는 온도 $T$의 함수이고 $\boldsymbol h$는 외부에서 걸어준 자기장을 온도 $T$로 나눈 것이다.

시스템이 스핀 $k$ 공간에서 등방적이며 좌표 공간에서 역시 충분히 등방적이라고 가정해보자. 그리고 블록 스핀은 다음과 같다.

$$\boldsymbol\sigma(\boldsymbol x)=L^{-d/2}\sum_{k<\Lambda}\boldsymbol\sigma_{\boldsymbol k}e^{i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x}$$

이것을 긴즈버그-란다우 모형에 적용하면

\begin{equation}\notag \begin{split} \frac{H(\sigma)}{T}&=a_{0}L^{d}+\sum_{k<\Lambda}\boldsymbol\sigma_{\boldsymbol k}\cdot\boldsymbol\sigma_{-\boldsymbol k}(a_{2}+ck^{2}) \\ &+L^{-d}\sum_{k,k^{\prime},k^{\prime\prime}<\Lambda}a_{4}(\boldsymbol\sigma_{\boldsymbol k}\cdot\boldsymbol\sigma_{\boldsymbol k^{\prime}})(\boldsymbol\sigma_{\boldsymbol k^{\prime\prime}}\cdot\boldsymbol\sigma_{-\boldsymbol k -\boldsymbol k^{\prime} -\boldsymbol k^{\prime\prime}}) \\ &+L^{d/2}\boldsymbol\sigma_{0}\cdot\boldsymbol k \end{split} \end{equation}

$T>T_{c}$이므로 $a_{2}>0$임을 의미한다. 편의를 위해 $\boldsymbol h=0$로 놓자. $\boldsymbol h=0$일 때 $T>T_{c}$인 경우 강자성체에서 상자성체로의 상전이가 일어나며 이 경우 자화 $m=0$이므로 $\boldsymbol\sigma(\boldsymbol x)$의 최빈값은 $0$이 된다. 그리고 위의 해밀토니안은 다음과 같이 적을 수 있다. $$\frac{H[\sigma]}{T}\cong a_{0}L^{d}+\sum_{k<\Lambda}\sum_{i=1}^{n}(a_{2}+ck^{2})|\sigma_{i\boldsymbol k}|^{2}$$ 가우스 근사에서 해밀토니안 형태와 비교해보면 $\lambda^{-2}$를 다음과 같이 정의할 수 있다. $$\frac{1}{2}\lambda^{-2}\equiv a_{2}+ck^{2}$$ 이제 $\boldsymbol\sigma_{i\boldsymbol k}$이 위의 가우스 근사에서의 $q_{l}^{\prime}$의 역할을 하므로 $$ \langle\boldsymbol \sigma_{i\boldsymbol k}\rangle=0,$$ $$ G(k)=\langle|\boldsymbol\sigma_{i\boldsymbol k}|\rangle^{2}=\frac{1}{2}(a_{2}+ck)^{-1},$$ $$FL^d=a_0L^d-\frac{1}{2}T\sum_{k<\Lambda}n\ln\left[\frac{\pi}{(a_2+ck^2)}\right]\quad\left(F\equiv\frac{f}{L^d}\right)$$ 이 된다. 앞서, $a_{2}=a_{2}^{\prime}(T-T_{c})$라 두었기 때문에 $$\lim_{T\rightarrow T_{c}}G(k)\propto k^{-2},$$ $$\lim_{k\rightarrow0}G(k)\propto (T-T_{c})^{-1}$$ 이 되어 임계지수가 $\eta=2,\,\gamma=1$이 됨을 확인할 수 있다. \begin{equation}\notag \sum_{k<\Lambda}\longrightarrow L^{d}(2\pi)^{-d}\int d^{d}k \end{equation} 를 이용하여 비열을 구하면 \begin{equation}\notag \begin{split} C&\equiv -T\left(\frac{\partial^2F}{\partial T^2}\right) \\ &=\frac{{a_2}^{\prime~2}}{2}T^2n(2\pi)^{-d}\int d^dk(a_2+ck^2)^{-2}+l.s \end{split} \end{equation} 이 된다. 여기서 $l.s$은 $(a_{2}+ck^{2})^{-1},\,\ln(a_{2}+ck^{2})$과 같이 발산에 영향을 덜 주는 항과 발산하지 않는 항을 의미한다. 이제

$$k\equiv\frac{k^{\prime}}{\xi}\quad (k^{\prime}<\xi\Lambda),$$ $$\xi^{-1}\equiv\left(\frac{a_{2}}{c}\right)^{1/2}=\left(\frac{a_{2}^{\prime}}{c}\right)^{1/2}(T-T_{c})^{1/2}$$

로 치환하여 적분하면 비열을 아래와 같이 구할 수 있다. \begin{equation}\notag \begin{split} C&=n\left[\frac{{a_2}^{\prime~2}}{2}T^2(2\pi)^{-d}\int d^dk(a_2+ck^2)^{-2}\right]+l.s \\ &=n\left[\frac{{a_2}^{\prime~2}}{2}T^{2}(2\pi)^{-d}\int d^{d}\left(\frac{k^\prime}{\xi}\right)(c\xi^{-2}+ck^{\prime}^{2}\xi^{-2})^{2}\right]+l.s \\ &=n\left[\frac{1}{2}(T{a_2}^\prime)^2(2\pi)^{-d}c^{-2}\int d^dk^\prime(1+k^{\prime~2})^{-2}\right]\xi^{4-d}+l.s \\ &\equiv C_0\xi^{4-d}+l.s \end{split} \end{equation}

$d<4$인 경우 비열 $C$는 수렴하여 상수값을 가짐을 알 수 있다. $d<4$이며 $T-T_{c}$가 아주 작은 경우 $$C\propto (T-T_{c})^{-\alpha},\quad \left(\alpha=2-\frac{d}{2}\right)$$ 가 되어 비열의 임계지수를 구할 수 있다. 지금까지 구한 임계지수 $\gamma=1,\,\eta=0,\,\alpha=2-\frac{d}{2}$에서 계수 $a_{0},\,a_{2}^{\prime},\,a_{4},\,c$가 나타나지 않으므로 이 임계지수들은 해밀토니안의 구체적인 형태에 대해 독립적임을 알 수 있다.

$T<T_{c}$이므로 $a_{2}<0$임을 의미한다. 이 경우, $h\rightarrow0$이더라도 $\tilde\sigma=0$이 아니다. 외부 자기장 $h$가 $0$이 아닌 아주 작은 크기로 한 쪽 방향의 성분만 가진다고 생각혀며 이 방향을 $1$ 방향이라고 하자. 그러므로 $$(\tilde\sigma_1)_{\boldsymbol k=0} =L^{d/2}\bar\sigma,\quad\boldsymbol{\bar\sigma}=\boldsymbol{m}=\hat{\boldsymbol{h}}m_o+\boldsymbol{h}/(8a_4m_o^2)$$ 이고 $k\neq0$ 또는 $i\neq1$일 때 $\tilde\sigma_{i\boldsymbol{k}}=0$이다. 긴즈버그 란다우 모형을 $(\boldsymbol{\sigma}-\boldsymbol{\tilde\sigma})^2$까지 테일러 전개하고 $\boldsymbol\sigma(\boldsymbol{x})=L^{-d/2}\sum\limits_{k<\Lambda}\boldsymbol{\sigma}_{\boldsymbol{k}}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}$을 대입한 식을 이용하면 긴즈버그 란다우 모형의 해밀토니안을 아래처럼 쓸 수 있다. $$\frac{H(\boldsymbol{\sigma})}{T}\approx\frac{H(\boldsymbol{\tilde\sigma})}{T}+\sum\limits_{k<\Lambda,k\neq0}\left[\left(4a_4m^2+\frac{\boldsymbol{h}}{2m}+ck^2\right)|\sigma_{1\boldsymbol{k}}|^2+\left(\frac{\boldsymbol{h}}{2m}+ck^2\right)\sum\limits_{i=2}^n|\sigma_{i\boldsymbol{k}}|^2\right]$$ 이 때, $\frac{H(\boldsymbol{\sigma})}{T}$는 $$\frac{H(\boldsymbol{\tilde\sigma})}{T}=L^d\left[a_0-(T-T_0)^2\frac{a_2^{\prime}^2}{4a_4}\right]$$ 이다. 가우스 근사를 사용하면 $$\langle\sigma_{i\boldsymbol{k}}\rangle = \tilde\sigma_{i\boldsymbol{k}},$$ $$G_\mid(k) \equiv \langle\mid\sigma_{\mid\boldsymbol{k}}}-\tilde\sigma_{\mid\boldsymbol{k}}\mid^2\rangle=\frac{1}{2}\left(2a^\prime_2(T_c-T)+ck^2)^{-1}),$$ $$G_\perp(k) \equiv \langle\mid\sigma_{i\boldsymbol{k}}}\mid^2\rangle = \frac{1}{2}\left(\frac{h}{2m}+ck^2\right)^{-1},\quad i = 2,\ldots,n,$$ $$FL^d = \frac{H(\boldsymbol{\sigma})}{T} - \frac{1}{2}T\sum\limits_{k<\Lambda}\left\{\ln\left[\frac{\pi}{2a^\prime_2(T_c-T)+ck^2}\right] + (n-1)\ln\left[\frac{\pi}{ck^2}\right]\right\}$$ 를 얻을 수 있다. 두번 째와 세 번째 식은 $h=0$으로 놓고 계산하였고 $2a_2^\prime(T_c-T) = 4a_4m^2$로 계산했다. 평균 자화 $\tilde\sigma$에 평행인 평행 모드의 크기$\sigma_{\mid\boldsymbol{k}}$가 수직 모드의 크기 $\sigma_{i\boldsymbol{k}}$와 상당히 다른 것을 알 수 있다. $k\rightarrow0$일 때 $$G_\mid(k) = \left[4a_2^\prime(T_c-T)\right]^{-1} = \chi$$ $$G_\perp(k) = \frac{m}{k}$$ 임을 알 수 있다. 참고로, $G(0) = m/k$는 스핀 공간 등방성의 결과이다. 비열을 구할 때 $FL^d$를 구한 식을 보면 첫 번째 항은 $T>T_c$일 때와 같고 세 번 째 항은 수직 모드의 영향이므로 오직 평행 모드인 두 번째 항만 $T<T_c$와 $T>T_c$의 차이에 영향을 줄 수 있다. 이 두 번쨰 항만 사용하여 비열을 구하면 아래와 같다. \begin{equation}\notag \begin{split} C &= 2^{\frac{d}{2}-2}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{Ta_2^\prime}{c}\right)^2(2\pi)^{-d}\int d^dk^\prime(1+k^\prime^2)^{-2}c^{-2}\right]\xi^{4-d}+l.s$$
&\equiv C_0^\prime\xi^{4-d}+l.s,\qquad \xi^{-1} = \left(\frac{a_2^\prime}{c}\right)^{1/2}\left\mid T-T_c\mid^{1/2} \end{split} \end{equation} $T>T_c$인 경우의 비열과 비교해보면 대괄호 안은 같지만 앞에 붙는 계수가 다른 것을 알 수 있다.

지금까지 긴즈버그-란다우 모형을 가우스 근사를 통해 풀어 구했던 임계지수를 정리해보면 다음과 닽다. \begin{equation}\notag \begin{split} &\gamma = \gamma^\prime = 1~, \\ &\eta = 0~, \\ &\delta = 3~, \\ &\beta = 1/2~, \\ &\alpha = \alpha^\prime = 2-d/2~. \end{split} \end{equation}

주어진 온도가 임계 온도보다 클 경우와 작을 경우의 계수를 각각 따로 정의했고 그들의 비율은 $$A/A^\prime = 2~,$$ $$C_0/C_0^\prime = n2^{2-d/2}$$ 임을 알았다. 비열에 대한 임계 지수만 제외한다면 가우스 근사를 통해 구한 임계 지수의 값이 평균장 이론으로 구한 임계지수의 값과 모두 같음을 알 수 있다. 또한 $d<4$일 때

• Shang-Keng Ma, Modern Theory of Critical Phenomena (Westview Press, 1976, 2000).