김민재:스터디:임계현상:3장._가우스_근사

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김민재:스터디:임계현상:3장._가우스_근사 [2017/07/21 21:02] – [주어진 온도가 임계온도보다 큰 경우] minjae김민재:스터디:임계현상:3장._가우스_근사 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
Line 6: Line 6:
 $$\sigma^{2}\equiv\boldsymbol\sigma(\boldsymbol x)\cdot\boldsymbol\sigma(\boldsymbol x)\equiv\sum_{i=1}^{n}(\sigma_{i}(x))^{2},$$ $$\sigma^{2}\equiv\boldsymbol\sigma(\boldsymbol x)\cdot\boldsymbol\sigma(\boldsymbol x)\equiv\sum_{i=1}^{n}(\sigma_{i}(x))^{2},$$
 $$\sigma^{2}\equiv(\sigma^{2})^{2},$$ $$\sigma^{2}\equiv(\sigma^{2})^{2},$$
-$$(\nabla\sigma)^{2}\equiv\sum_{\alpha=1}^{d}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial\alpha_{i}}{{\partial x_{\alpha}}\right)^{2}.$$+$$(\nabla\sigma)^2\equiv\sum_{\alpha=1}^d\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial\alpha_i}{\partial x_\alpha}\right)^2.$$
  
 계수 $a_{0},\,a_{2},\,a_{4},\,c$는 온도 $T$의 함수이고 $\boldsymbol h$는 외부에서 걸어준 자기장을 온도 $T$로 나눈 것이다. 계수 $a_{0},\,a_{2},\,a_{4},\,c$는 온도 $T$의 함수이고 $\boldsymbol h$는 외부에서 걸어준 자기장을 온도 $T$로 나눈 것이다.
Line 33: Line 33:
 $$ \langle\boldsymbol \sigma_{i\boldsymbol k}\rangle=0,$$ $$ \langle\boldsymbol \sigma_{i\boldsymbol k}\rangle=0,$$
 $$ G(k)=\langle|\boldsymbol\sigma_{i\boldsymbol k}|\rangle^{2}=\frac{1}{2}(a_{2}+ck)^{-1},$$ $$ G(k)=\langle|\boldsymbol\sigma_{i\boldsymbol k}|\rangle^{2}=\frac{1}{2}(a_{2}+ck)^{-1},$$
-$$FL^{d}=a_{0}L^{d}-\frac{1}{2}T\sum_{k<\Lambda}n\ln\left[\frac{\pi}{(a_{2}+ck^{2})\right]\quad(F\equiv\frac{f}{L^{d}})$$+$$FL^d=a_0L^d-\frac{1}{2}T\sum_{k<\Lambda}n\ln\left[\frac{\pi}{(a_2+ck^2)}\right]\quad\left(F\equiv\frac{f}{L^d}\right)$$
 이 된다. 앞서, $a_{2}=a_{2}^{\prime}(T-T_{c})$라 두었기 때문에 이 된다. 앞서, $a_{2}=a_{2}^{\prime}(T-T_{c})$라 두었기 때문에
 $$\lim_{T\rightarrow T_{c}}G(k)\propto k^{-2},$$ $$\lim_{T\rightarrow T_{c}}G(k)\propto k^{-2},$$
Line 44: Line 44:
 \begin{equation}\notag \begin{equation}\notag
 \begin{split} \begin{split}
-C&\equiv -T\left(\frac{\partial^{2}F}{\partial T^{2}}\right) \\ +C&\equiv -T\left(\frac{\partial^2F}{\partial T^2}\right) \\ 
-&=\frac{a_{2}^{\prime}^{2}}{2}T^{2}n(2\pi)^{-d}\int d^{d}k(a_{2}+ck^{2})^{-2}+l.s+&=\frac{{a_2}^{\prime~2}}{2}T^2n(2\pi)^{-d}\int d^dk(a_2+ck^2)^{-2}+l.s
 \end{split} \end{split}
 \end{equation} \end{equation}
Line 56: Line 56:
 \begin{equation}\notag \begin{equation}\notag
 \begin{split} \begin{split}
-C&=n\left[\frac{a_{2}^{\prime}^{2}}{2}T^{2}(2\pi)^{-d}\int d^{d}k(a_{2}+ck^{2})^{-2}\right]+l.s \\ +C&=n\left[\frac{{a_2}^{\prime~2}}{2}T^2(2\pi)^{-d}\int d^dk(a_2+ck^2)^{-2}\right]+l.s \\ 
-&=n\left[\frac{a_{2}^{\prime}^{2}}{2}T^{2}(2\pi)^{-d}\int d^{d}\left(\frac{k^{\prime}}{\xi}\right)(c\xi^{-2}+ck^{\prime}^{2}\xi^{-2})^{2}\right]+l.s \\ +&=n\left[\frac{{a_2}^{\prime~2}}{2}T^{2}(2\pi)^{-d}\int d^{d}\left(\frac{k^\prime}{\xi}\right)(c\xi^{-2}+ck^{\prime}^{2}\xi^{-2})^{2}\right]+l.s \\ 
-&=n\left[\frac{1}{2}(Ta_{2}^{\prime})^{2}(2\pi)^{-d}c^{-2}\int d^{d}k^{\prime}(1+k^{\prime}^{2})^{-2}\right]\xi^{4-d}+l.s \\ +&=n\left[\frac{1}{2}(T{a_2}^\prime)^2(2\pi)^{-d}c^{-2}\int d^dk^\prime(1+k^{\prime~2})^{-2}\right]\xi^{4-d}+l.s \\ 
-&\equiv C_{0}\xi^{4-d}+l.s+&\equiv C_0\xi^{4-d}+l.s
 \end{split} \end{split}
 \end{equation} \end{equation}
Line 68: Line 68:
 지금까지 구한 임계지수 $\gamma=1,\,\eta=0,\,\alpha=2-\frac{d}{2}$에서 계수 $a_{0},\,a_{2}^{\prime},\,a_{4},\,c$가 나타나지 않으므로 이 임계지수들은 해밀토니안의 구체적인 형태에 대해 독립적임을 알 수 있다. 지금까지 구한 임계지수 $\gamma=1,\,\eta=0,\,\alpha=2-\frac{d}{2}$에서 계수 $a_{0},\,a_{2}^{\prime},\,a_{4},\,c$가 나타나지 않으므로 이 임계지수들은 해밀토니안의 구체적인 형태에 대해 독립적임을 알 수 있다.
 ===== 주어진 온도가 임계온도보다 작은 경우 ===== ===== 주어진 온도가 임계온도보다 작은 경우 =====
-$T<T_{c}$이므로 $a_{2}<0$임을 의미한다. 이 경우, $h\rightarrow0$이더라도 $\dilde\sigma=0$이 아니다. 외부 자기장 $h$가 $0$이 아닌 아주 작은 크기로 한 쪽 방향의 성분만 가진다고 생각혀며 이 방향을 $1$ 방향이라고 하자. 그러므로+$T<T_{c}$이므로 $a_{2}<0$임을 의미한다. 이 경우, $h\rightarrow0$이더라도 $\tilde\sigma=0$이 아니다. 외부 자기장 $h$가 $0$이 아닌 아주 작은 크기로 한 쪽 방향의 성분만 가진다고 생각혀며 이 방향을 $1$ 방향이라고 하자. 그러므로
 $$(\tilde\sigma_1)_{\boldsymbol k=0} =L^{d/2}\bar\sigma,\quad\boldsymbol{\bar\sigma}=\boldsymbol{m}=\hat{\boldsymbol{h}}m_o+\boldsymbol{h}/(8a_4m_o^2)$$ $$(\tilde\sigma_1)_{\boldsymbol k=0} =L^{d/2}\bar\sigma,\quad\boldsymbol{\bar\sigma}=\boldsymbol{m}=\hat{\boldsymbol{h}}m_o+\boldsymbol{h}/(8a_4m_o^2)$$
 이고 $k\neq0$ 또는 $i\neq1$일 때 $\tilde\sigma_{i\boldsymbol{k}}=0$이다. 긴즈버그 란다우 모형을 $(\boldsymbol{\sigma}-\boldsymbol{\tilde\sigma})^2$까지 테일러 전개하고 $\boldsymbol\sigma(\boldsymbol{x})=L^{-d/2}\sum\limits_{k<\Lambda}\boldsymbol{\sigma}_{\boldsymbol{k}}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}$을 대입한 식을 이용하면 긴즈버그 란다우 모형의 해밀토니안을 아래처럼 쓸 수 있다. 이고 $k\neq0$ 또는 $i\neq1$일 때 $\tilde\sigma_{i\boldsymbol{k}}=0$이다. 긴즈버그 란다우 모형을 $(\boldsymbol{\sigma}-\boldsymbol{\tilde\sigma})^2$까지 테일러 전개하고 $\boldsymbol\sigma(\boldsymbol{x})=L^{-d/2}\sum\limits_{k<\Lambda}\boldsymbol{\sigma}_{\boldsymbol{k}}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}$을 대입한 식을 이용하면 긴즈버그 란다우 모형의 해밀토니안을 아래처럼 쓸 수 있다.
  • 김민재/스터디/임계현상/3장._가우스_근사.1500640350.txt.gz
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