Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- 물리:드알메이다-사울레스_선 [2026/09/27 16:02] – [드알메이다-사울레스 선] admin
+++ 물리:드알메이다-사울레스_선 [2026/10/01 12:45] (current) – [감수율] admin
@@ Line 1: / Line 1: @@
 =====드알메이다-사울레스 선=====
-[[물리:복제_대칭_해|복제 대칭 해]]에서 $n$개의 복제본에 대한 자유에너지를 다음처럼 적었다:
+[[물리:셰링턴-커크패트릭_모형|셰링턴-커크패트릭 모형]]의 [[물리:복제_트릭|복제 트릭]]에서 $n$개의 복제본에 대한 자유에너지를 다음처럼 적었다:
 $$
 -\beta[f] = \lim_{n\rightarrow0}\left\{-\frac{\beta^2J^2}{4n}\sum_{\alpha\neq\beta}q_{\alpha\beta}^2 - \frac{\beta J_0}{2n}\sum_\alpha m_\alpha^2 + \frac14\beta^2J^2+\frac1n\ln\text{Tr}' e^L \right\}.
@@ Line 11: / Line 11: @@
 $$
-가 된다. 복제 대칭해가 안정적인지를 보려면 질서 변수들이 복제 대칭해를 조금 벗어나도록 하고 이들의 계수의 부호를 보면 될 것이다. 즉
+가 된다. [[물리:복제_대칭_해|복제 대칭 해]]가 안정적인지를 보려면 질서 변수들이 복제 대칭해를 조금 벗어나도록 하고 이들의 계수의 부호를 보면 될 것이다. 즉
 $$
 x^\alpha = x+\epsilon^\alpha,\quad y^{\alpha\beta} = y + \eta^{\alpha\beta}
@@ Line 136: / Line 136: @@
 가 되고, $n\rightarrow0$인 극한을 취해주면
 $$\lambda_3=P-2Q+R$$
-이 됨을 알 수 있다. 여기서 특정한 복제본 $\theta,\nu$를 선택하는 경우의 수는 $n(n-1)/2$이므로 $\lambda_3$까지만 고려하면 $G$의 차원을 모두 채우게 된다.
+이 됨을 알 수 있다. 여기서 특정한 복제본 $\theta,\nu$를 선택하는 경우의 수는 $n(n-1)/2$이므로 $\lambda_3$까지만 고려하면 $G$의 차원을 모두 채우게 된다. 앞의 표현식들을 활용하면
+\begin{eqnarray*}
+\lambda_3 &=& \left[1-\beta^2 J^2 (1-q^2) \right] - 2\left[ -\beta^2 J^2 (q-q^2) -\beta^2 J^2 (r-q^2) \right]\\
+&=& 1-\beta^2 J^2 (1-2q+r)\\
+&=& 1-\beta^2 J^2 \int Dz~ \left[ 1-\tanh^2 \beta\tilde{H}(z) \right]^2\\
+&=& 1-\beta^2 J^2 \int Dz~ \text{sech}^4 \beta \tilde{H}(z).
+\end{eqnarray*}
 이제 구해낸 두 타입의 고윳값 $\lambda_1=\lambda_2$, $\lambda_3$의 부호를 살펴볼 차례이다. 먼저 $\lambda_{1,2}$가 양수일 충분조건은
@@ Line 147: / Line 153: @@
 {{:물리:atline.png?500|}}
+====비선형 감수율====
+다음과 같이 스핀 유리의 감수율을 정의하자:
+\[ \chi_\text{SG} = \frac{1}{T^2} \frac{1}{N} \sum_{i,j=1}^N \left[ \left( \langle S_i S_j \rangle - \langle S_i \rangle \langle S_j \rangle \right)^2 \right]. \]
+이를 전개했을 때 나오는 항들을 복제본의 관점에서는 다음처럼 표현할 수 있다:
+\begin{eqnarray*}
+\left[ \langle S_i S_j \rangle^2 \right] &=& \lim_{n\to 0} \frac{1}{n(n-1)} \sum_{(\alpha,\beta)} \langle S_i^\alpha S_j^\alpha S_i^\beta S_j^\beta \rangle\\
+\left[ \langle S_i S_j \rangle \langle S_i \rangle \langle S_j \rangle \right] &=& \lim_{n\to 0} \frac{1}{n(n-1)(n-2)} \sum_{(\alpha,\beta,\gamma)} \langle S_i^\alpha S_j^\alpha S_i^\beta S_j^\gamma \rangle\\
+\left[ \langle S_i \rangle^2 \langle S_j \rangle^2 \right] &=& \lim_{n\to 0} \frac{1}{n(n-1)(n-2)(n-3)} \sum_{(\alpha,\beta,\gamma,\delta)} \langle S_i^\alpha S_j^\beta S_i^\gamma S_j^\delta \rangle.
+\end{eqnarray*}
+여기에서 $(\alpha,\beta)$ 등에 대한 합 기호는 서로 다른 복제본들 집합 모두에 대한 합을 의미한다. 우변에서 복제본이 달라지는 것이 좌변에서는 독립적으로 열적평균을 취하는 것에 대응된다.
+[[물리:복제_트릭|복제 트릭]]에서 $J_0=h=0$의 경우 아래 식을 얻을 수 있다:
+\[ \left[Z^n\right] = \text{Tr}_n \exp \left[ \frac{1}{N} \sum_{i<j} \frac{1}{2}\beta^2 J^2 \sum_{\alpha,\beta=1}^n S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} S_{i}^{\beta} S_{j}^{\beta} \right]. \]
+$\sum_i S_i^\alpha S_i^\beta$에 결합하는 장 $\Delta_{\alpha\beta}$를 추가하면
+\[ \left[Z^n\right] = \text{Tr}_n \exp \left[ \frac{1}{N} \sum_{i<j} \frac{1}{2}\beta^2 J^2 \sum_{\alpha,\beta=1}^n S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} S_{i}^{\beta} S_{j}^{\beta} + \sum_{\alpha<\beta} \Delta_{\alpha\beta} \sum_i S_i^\alpha S_i^\beta \right], \]
+그리고 평균 값들은 $\Delta_{\alpha\beta}=0$ 지점에서 미분을 취하여 다음처럼 계산한다 ($\alpha<\beta$, $\gamma<\delta$):
+\begin{eqnarray*}
+\sum_i \langle S_i^\alpha S_i^\beta \rangle  &=& \lim_{n\to 0} \frac{\partial}{\partial \Delta_{\alpha\beta}} \left[ Z^n \right]\\
+\sum_i \langle S_i^\alpha S_i^\beta S_i^\gamma S_i^\delta \rangle  &=& \lim_{n\to 0} \frac{\partial^2}{\partial \Delta_{\alpha\beta} \partial \Delta_{\gamma\delta}} \left[ Z^n \right].
+\end{eqnarray*}
+[[물리:복제_트릭|복제 트릭]]에서 했던 것처럼 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]을 수행하면 다음을 얻는데
+\begin{equation}
+    \left[ Z^n \right] ~=~ \exp \left( \frac{N \beta^2 J^2 n}{4} \right) \int \prod_{\alpha < \beta} dq_{\alpha \beta}
+    \exp \left( -\frac{N \beta^2 J^2}{2} \sum_{\alpha < \beta} q_{\alpha \beta}^2 \right)  \exp \left( N\ln \text{Tr}^{\prime} e^{L} \right).
+\end{equation}
+\begin{align}
+    L \equiv \beta^2 J^2 \sum_{\alpha < \beta} \left[ q_{\alpha \beta} - (\beta J)^{-2} \Delta_{\alpha\beta} \right] S^{\alpha} S^{\beta}
+\end{align}
+다음처럼 새로운 변수를 도입하자:
+\[ u_{\alpha\beta} \equiv q_{\alpha \beta} - (\beta J)^{-2} \Delta_{\alpha\beta}.\]
+그러면
+\[  L \equiv \beta^2 J^2 \sum_{\alpha < \beta} u_{\alpha \beta} S^{\alpha} S^{\beta} \]
+이고 입자 하나당의 자유에너지는 이렇게 기술된다:
+\[
+-\beta \left[ f\right] = \lim_{n\to 0} \left\{ \frac{\beta^2 J^2}{4} - \frac{1}{4n} \sum_{(\alpha,\beta)} \left[ (\beta J)^2 u_{\alpha\beta}^2 + 2\Delta_{\alpha\beta} u_{\alpha\beta} + (\beta J)^{-2} \Delta_{\alpha\beta}^2 \right] + \frac{1}{n} \ln \text{Tr}' e^{L} \right\}.
+\]
+앞에서 보았던 대로 $\Delta_{\alpha\beta}$에 대한 미분을 시행하여 스핀 사이의 상관함수를 계산해보자:
+\begin{eqnarray*}
+\frac{1}{N} \sum_i \langle S_i^\alpha S_i^\beta \rangle &=& \lim_{n\to 0} \langle q_{\alpha\beta} \rangle\\
+\frac{1}{N} \sum_i \langle S_i^\alpha S_i^\beta \rangle \langle S_i^\gamma S_i^\delta \rangle &=& \lim_{n\to 0} \left[ -(\beta J)^{-2} \delta_{\alpha\beta, \gamma\delta} + \langle q_{\alpha\beta} q_{\gamma\delta} \rangle \right].
+\end{eqnarray*}
+그러므로 감수율은 이렇게 표현할 수 있다:
+\[ \chi_\text{SG} = \frac{1}{T^2} \left[ -(\beta J)^{-2} + \langle q_{\alpha\beta}^2 \rangle - 2\langle q_{\alpha\beta} q_{\alpha\gamma} \rangle + \langle q_{\alpha\beta} q_{\gamma\delta} \rangle \right]. \]
+[[물리:복제_대칭_해|복제 대칭 해]]에서의 값 $q_c$로부터 벗어나는 정도를 가지고 표시해보면
+\[ q_{\alpha\beta} = q_c + \delta q_{\alpha\beta} \]
+로서, 위 식에 대입해보면 $q_c$는 모두 상쇄되고 아래처럼 기술된다:
+\[ \chi_\text{SG} = \frac{1}{T^2} \left[ -(\beta J)^{-2} + \langle \delta q_{\alpha\beta}^2 \rangle - 2\langle \delta q_{\alpha\beta} \delta q_{\alpha\gamma} \rangle + \langle \delta q_{\alpha\beta} \delta q_{\gamma\delta} \rangle \right]. \]
+극점 근처를 살펴보고 있으므로 자유에너지가 2차 함수 형태로 주어지는데
+[[수학:윅의_정리|가우스 함수의 적분]]에서 볼 수 있듯이
+\[P(\left\{ x \right\}) \propto \exp \left( -\frac12 x_i A_{ij} x_j \right) \]
+이라면 상관함수가 $\left< x_i x_j \right> = \left( A^{-1} \right)_{ij}$로 주어진다. $\chi_\text{SG}$의 표현식에 등장하는 평균들은 세 항을 합쳐 $\lambda_3^{-1}$로 표현할 수 있고 그러면
+\begin{eqnarray*}
+\chi_\text{SG} &=& -\frac{1}{J^2} + \frac{1}{T^2} \frac{1}{\lambda_r}\\
+&=& -\frac{1}{J^2} + \frac{1}{J^2} \frac{1}{1-(\beta J)^2 (1-2q + r)}\\
+&=& \beta^2 \frac{1-2q+r}{1-(\beta J)^2 (1-2q + r)}\\
+&=& \frac{\chi_\text{SG}^0}{1-J^2 \chi_\text{SG}^0}
+\end{eqnarray*}
+로서 $\chi_\text{SG}^0 \equiv \beta^2(1-2q+r)$이다.
+이 양이 발산하는 지점은 위에서 구한 드알메이다-사울레스 선과 일치한다.
+======함께 보기======
+  *[[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]
@@ Line 152: / Line 226: @@
   *H. Nishimori, //Statistical physics of spin glasses and information processing an introduction// (Clarendon, Oxford, 2001).
   *A. P. Young, //Notes on the replica symmetric solution of the classical and quantum SK model, including the matrix of second derivatives and the spin glass susceptibility//, [[https://doi.org/10.48550/arXiv.1706.07315|arXiv:1706.07315]].
+  *Tomoyuki Obuchi, //Role of the Finite Replica Analysis in the Mean-Field Theory of Spin Glasses//, [[https://arxiv.org/abs/1508.05225|arXiv:1508.05225]].