수학:디락_델타_함수

적분 표현

$f(x)$의 푸리에 변환 $$f(x) = \int_{-\infty}^\infty g(k) e^{ikx} dx$$ $$g(k) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-ikx} dk$$ 로부터 두 번째 식을 첫 번째 식에 대입하면 \begin{eqnarray} f(x) &=& \int_{-\infty}^\infty \left[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty f(y) e^{-iky} dk \right] e^{ikx} dx\\ &=& \int_{-\infty}^\infty f(y) \left( \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ik(x-y)} dk \right) dy\\ &=& \int_{-\infty}^\infty f(y) \delta(x-y) dy \end{eqnarray} 임을 알 수 있다. 식 (1)에서는 허깨비 변수 $y$를 사용했음에 유의한다. 즉 $$\delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ikx} dk.$$

위 식을 바로 적분해서 디락 델타 함수임을 볼 수도 있는데 이 때에는 약간의 트릭이 필요하다.

작은 양수 $\epsilon$을 집어넣어서 적분의 진동을 감쇠시켜보자. 그 후에 $\epsilon\rightarrow 0$의 극한을 취할 것이다. 그러면

\begin{eqnarray} \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ikx} dk &=& \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \left[ \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty e^{ikx-\epsilon x} dk + \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^0 e^{ikx+\epsilon x} dk \right]\\ &=& \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{1}{\epsilon+ix} + \frac{1}{\epsilon-ix} \right]\\ &=& \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{\epsilon}{\pi(\epsilon^2 + x^2)} \end{eqnarray} 그런데 모든 $x\neq 0$에 대해서 $\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{\epsilon}{\pi(\epsilon^2 + x^2)}=0$이고, 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\epsilon}{\pi(\epsilon^2 + x^2)} dx = 1$$ 이어서 디락 델타 함수의 성질을 가진다.

등식

$$\delta(t-t') = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{i\omega(t-t')} d\omega$$ 인데, $\delta(t)$는 짝함수이므로 이는 또한 $$\delta(t'-t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{-i\omega(t-t')} d\omega$$ 와도 같다. 따라서 우변의 두 표현식을 반반씩 섞어도 $\delta(t-t')$이 된다: \begin{eqnarray*} \delta(t-t') &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i\omega(t-t')}+e^{-i\omega(t-t')}}{2} d\omega\\ &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \cos \omega (t-t') d\omega\\ &=& \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \cos \omega (t-t') d\omega. \end{eqnarray*} 칼데이라-레겟 모형의 흩어지기 부분을 묘사할 때 사용되는 식이다.

적분구간이 양수일 때

2종 요동-흩어지기 정리의 유도와 칼데이라-레겟 모형의 흩어지기 부분 분석에서처럼 $\delta(t)$를 $0$부터 $\infty$까지 적분해야 할 경우 $\delta(t)$가 짝함수이므로 $$\int_0^\infty \delta(t) dt = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \delta(t) dt = \frac{1}{2}$$ 이라고 놓는다.

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  • Last modified: 2017/07/11 16:13
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