물리:드알메이다-사울레스_선

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물리:드알메이다-사울레스_선 [2026/09/28 11:06] – [감수율] admin물리:드알메이다-사울레스_선 [2026/10/01 12:45] (current) – [감수율] admin
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 가 되고, $n\rightarrow0$인 극한을 취해주면 가 되고, $n\rightarrow0$인 극한을 취해주면
 $$\lambda_3=P-2Q+R$$ $$\lambda_3=P-2Q+R$$
-이 됨을 알 수 있다. 여기서 특정한 복제본 $\theta,\nu$를 선택하는 경우의 수는 $n(n-1)/2$이므로 $\lambda_3$까지만 고려하면 $G$의 차원을 모두 채우게 된다.+이 됨을 알 수 있다. 여기서 특정한 복제본 $\theta,\nu$를 선택하는 경우의 수는 $n(n-1)/2$이므로 $\lambda_3$까지만 고려하면 $G$의 차원을 모두 채우게 된다. 앞의 표현식들을 활용하면 
 +\begin{eqnarray*} 
 +\lambda_3 &=& \left[1-\beta^2 J^2 (1-q^2) \right] - 2\left[ -\beta^2 J^2 (q-q^2) -\beta^2 J^2 (r-q^2) \right]\\ 
 +&=& 1-\beta^2 J^2 (1-2q+r)\\ 
 +&=& 1-\beta^2 J^2 \int Dz~ \left[ 1-\tanh^2 \beta\tilde{H}(z) \right]^2\\ 
 +&=& 1-\beta^2 J^2 \int Dz~ \text{sech}^4 \beta \tilde{H}(z). 
 +\end{eqnarray*}
  
 이제 구해낸 두 타입의 고윳값 $\lambda_1=\lambda_2$, $\lambda_3$의 부호를 살펴볼 차례이다. 먼저 $\lambda_{1,2}$가 양수일 충분조건은 이제 구해낸 두 타입의 고윳값 $\lambda_1=\lambda_2$, $\lambda_3$의 부호를 살펴볼 차례이다. 먼저 $\lambda_{1,2}$가 양수일 충분조건은
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-====감수율====+====비선형 감수율====
  
 다음과 같이 스핀 유리의 감수율을 정의하자: 다음과 같이 스핀 유리의 감수율을 정의하자:
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 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
 \frac{1}{N} \sum_i \langle S_i^\alpha S_i^\beta \rangle &=& \lim_{n\to 0} \langle q_{\alpha\beta} \rangle\\ \frac{1}{N} \sum_i \langle S_i^\alpha S_i^\beta \rangle &=& \lim_{n\to 0} \langle q_{\alpha\beta} \rangle\\
-\frac{1}{N} \sum_i \langle S_i^\alpha S_i^\beta \langle S_i^\gamma S_i^\delta \rangle &=& \lim_{n\to 0} \left[ -(\beta J)^{-2} \delta_{\alpha\beta, \gamma\delta} + \langle q_{\alpha\beta} q_{\gamma\delta} \rangle \right].+\frac{1}{N} \sum_i \langle S_i^\alpha S_i^\beta \rangle \langle S_i^\gamma S_i^\delta \rangle &=& \lim_{n\to 0} \left[ -(\beta J)^{-2} \delta_{\alpha\beta, \gamma\delta} + \langle q_{\alpha\beta} q_{\gamma\delta} \rangle \right].
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
 그러므로 감수율은 이렇게 표현할 수 있다: 그러므로 감수율은 이렇게 표현할 수 있다:
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 로서, 위 식에 대입해보면 $q_c$는 모두 상쇄되고 아래처럼 기술된다: 로서, 위 식에 대입해보면 $q_c$는 모두 상쇄되고 아래처럼 기술된다:
 \[ \chi_\text{SG} = \frac{1}{T^2} \left[ -(\beta J)^{-2} + \langle \delta q_{\alpha\beta}^2 \rangle - 2\langle \delta q_{\alpha\beta} \delta q_{\alpha\gamma} \rangle + \langle \delta q_{\alpha\beta} \delta q_{\gamma\delta} \rangle \right]. \] \[ \chi_\text{SG} = \frac{1}{T^2} \left[ -(\beta J)^{-2} + \langle \delta q_{\alpha\beta}^2 \rangle - 2\langle \delta q_{\alpha\beta} \delta q_{\alpha\gamma} \rangle + \langle \delta q_{\alpha\beta} \delta q_{\gamma\delta} \rangle \right]. \]
 +
 +극점 근처를 살펴보고 있으므로 자유에너지가 2차 함수 형태로 주어지는데
 +[[수학:윅의_정리|가우스 함수의 적분]]에서 볼 수 있듯이
 +\[P(\left\{ x \right\}) \propto \exp \left( -\frac12 x_i A_{ij} x_j \right) \]
 +이라면 상관함수가 $\left< x_i x_j \right> = \left( A^{-1} \right)_{ij}$로 주어진다. $\chi_\text{SG}$의 표현식에 등장하는 평균들은 세 항을 합쳐 $\lambda_3^{-1}$로 표현할 수 있고 그러면
 +\begin{eqnarray*}
 +\chi_\text{SG} &=& -\frac{1}{J^2} + \frac{1}{T^2} \frac{1}{\lambda_r}\\
 +&=& -\frac{1}{J^2} + \frac{1}{J^2} \frac{1}{1-(\beta J)^2 (1-2q + r)}\\
 +&=& \beta^2 \frac{1-2q+r}{1-(\beta J)^2 (1-2q + r)}\\
 +&=& \frac{\chi_\text{SG}^0}{1-J^2 \chi_\text{SG}^0}
 +\end{eqnarray*}
 +로서 $\chi_\text{SG}^0 \equiv \beta^2(1-2q+r)$이다.
 +
 +이 양이 발산하는 지점은 위에서 구한 드알메이다-사울레스 선과 일치한다.
 +
 +
 +======함께 보기======
 +  *[[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]
  
  
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   *H. Nishimori, //Statistical physics of spin glasses and information processing an introduction// (Clarendon, Oxford, 2001).   *H. Nishimori, //Statistical physics of spin glasses and information processing an introduction// (Clarendon, Oxford, 2001).
   *A. P. Young, //Notes on the replica symmetric solution of the classical and quantum SK model, including the matrix of second derivatives and the spin glass susceptibility//, [[https://doi.org/10.48550/arXiv.1706.07315|arXiv:1706.07315]].   *A. P. Young, //Notes on the replica symmetric solution of the classical and quantum SK model, including the matrix of second derivatives and the spin glass susceptibility//, [[https://doi.org/10.48550/arXiv.1706.07315|arXiv:1706.07315]].
 +  *Tomoyuki Obuchi, //Role of the Finite Replica Analysis in the Mean-Field Theory of Spin Glasses//, [[https://arxiv.org/abs/1508.05225|arXiv:1508.05225]].
 +
  
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