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물리:사다리_2차원_이징_모형 [2023/01/18 20:42] – minwoo | 물리:사다리_2차원_이징_모형 [2023/09/07 07:02] (current) – minwoo | ||
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====== 사다리(ladder) 위의 이징 모형 ====== | ====== 사다리(ladder) 위의 이징 모형 ====== | ||
+ | |||
$2 \times M$ 사각 격자 상의 2차원 이징 모형을 다음과 같은 해밀토니안 $H$로 기술하자 | $2 \times M$ 사각 격자 상의 2차원 이징 모형을 다음과 같은 해밀토니안 $H$로 기술하자 | ||
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$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
- | 여기서 우리는 ' | + | 여기서 우리는 ' |
따라서, 아래와 같이 전달 행렬의 성분을 정의하자. | 따라서, 아래와 같이 전달 행렬의 성분을 정의하자. | ||
Line 57: | Line 58: | ||
$$ Z= \sum_{\{S_{m}\}} \prod_{m=1}^M \exp \left[ K \left(S_{m, | $$ Z= \sum_{\{S_{m}\}} \prod_{m=1}^M \exp \left[ K \left(S_{m, | ||
= \sum_{\{S_{m}\}} \prod_{m=1}^M T_{m, | = \sum_{\{S_{m}\}} \prod_{m=1}^M T_{m, | ||
- | = Tr\{\boldsymbol{T}_{12}\boldsymbol{T}_{23} ... \boldsymbol{T}_{M-1, | + | = Tr\left(\boldsymbol{T}_{12}\boldsymbol{T}_{23} ... \boldsymbol{T}_{M-1, |
- | = Tr\{\boldsymbol{T}^M \}$$ | + | = Tr\left(\boldsymbol{T}^M \right)$$ |
위의 식 두번째 줄에서 세번째 줄로 넘어갈 때, 대각 성분들의 합(trace, $Tr$)을 계산하는 것으로서 등식이 성립함을 이용하였으며 | 위의 식 두번째 줄에서 세번째 줄로 넘어갈 때, 대각 성분들의 합(trace, $Tr$)을 계산하는 것으로서 등식이 성립함을 이용하였으며 | ||
Line 64: | Line 65: | ||
그러한 관계가 성립하는 이유를 간단히 소개하자면 다음과 같다. | 그러한 관계가 성립하는 이유를 간단히 소개하자면 다음과 같다. | ||
- | ==== 대각합(trace) | + | ==== 대각합(trace) ==== |
앞서 보았던 아래의 식에서 | 앞서 보았던 아래의 식에서 | ||
Line 95: | Line 96: | ||
$$ \sum_{\{S_{1}\}} \sum_{\{S_{M}\}} T_{1, | $$ \sum_{\{S_{1}\}} \sum_{\{S_{M}\}} T_{1, | ||
- | 이때, 위 식의 마지막 결과에서 $T^M _{1,1}$을 ${S_1}$에 대하여 합해주는 것은 $\boldsymbol{T^M}$의 대각합을 구하는 것이므로 $Tr\{ \boldsymbol{T^M} \}$과 같다. | + | 이때, 위 식의 마지막 결과에서 $T^M _{1,1}$을 ${S_1}$에 대하여 합해주는 것은 $\boldsymbol{T^M}$의 대각합을 구하는 것이므로 $Tr\left( \boldsymbol{T^M} \right) |
$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
- | ==== 고유값 계산 ==== | + | ==== 고유값으로 대각합 |
앞서 언급된 전달 행렬 정의의 수식을 이용해서 | 앞서 언급된 전달 행렬 정의의 수식을 이용해서 | ||
Line 119: | Line 120: | ||
$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
- | 앞서 우리는 $ Z = Tr\{\boldsymbol{T}^M \}$의 결과를 얻었으므로, | + | 앞서 우리는 $ Z = Tr\left(\boldsymbol{T}^M \right)$의 결과를 얻었으므로, |
대각 성분만을 갖는 대각 행렬 $\boldsymbol{D}$에 대해 $\boldsymbol{T} = \boldsymbol{UDU^{-1}}$ 으로 ' | 대각 성분만을 갖는 대각 행렬 $\boldsymbol{D}$에 대해 $\boldsymbol{T} = \boldsymbol{UDU^{-1}}$ 으로 ' | ||
Line 142: | Line 143: | ||
분배 함수 $Z$를 구하기 위한 행렬 $\boldsymbol{D}$는 (Mathematica 등의 프로그램 등을 이용하여) 다음과 같이 얻을 수 있으며 | 분배 함수 $Z$를 구하기 위한 행렬 $\boldsymbol{D}$는 (Mathematica 등의 프로그램 등을 이용하여) 다음과 같이 얻을 수 있으며 | ||
- | (내용 추가 예정) | + | {{: |
+ | |||
+ | 크기가 큰 순서대로 고유값을 나열하면 다음과 같다. | ||
+ | |||
+ | $$ \lambda_1 = \frac{1}{2} e^{-4K}(1+2e^{4K}+e^{8K}+\sqrt{1+14e^{8K}+e^{16K}}), | ||
+ | | ||
+ | |||
+ | $\boldsymbol{D}$의 대각 성분들을 구했으므로, | ||
+ | |||
+ | $$ Z = Tr\left(\boldsymbol{T}^M \right) = \lambda_1^M + \lambda_2^M + \lambda_3^M + \lambda_4^M $$ | ||
+ | |||
+ | 위와 같이 분배 함수 $Z$를 구할 수 있다. | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | |||
+ | ==== $K$가 클 때의 근사 ==== | ||
+ | |||
+ | $K$의 값이 큰 경우에는, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | 다음과 같이 나타낼 수 있다. | ||
+ | |||
+ | $$ Z = Tr\left(\boldsymbol{T}^M \right) = \lambda_1^M + \lambda_2^M + \lambda_3^M + \lambda_4^M \approx \lambda_1^M + \lambda_2^M | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | ===== 참고문헌 ===== | ||
+ | |||
+ | Gun Sang Jeon, Fundamentals of Quantum Phase Transitions, | ||
+ | Seung Ki Baek and Harri M¨akel¨a, Internal energy density of the critical three-state Potts model on the kagome lattice, 2013. |